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第五章 数理统计的基础知识 在前四章的概率论部分中，我们讨论了概率论的基本概念、思想和方法。知道随机变量的统计规律性是通过随机变量的概率分布来全面描述的。在概率论的许多问题中，概率分布通常是已知的或假设为已知的，在这一前提下我们去研究它的性质、特点和规律性，即讨论我们关心的某些概率、数字特征的计算以及对某些问题的判断、推理等。 但在许多实际问题中，所涉及到的某个随机变量服从什么分布我们可能完全不知道，或有时我们能够根据某些事实推断出分布的类型，但却不知道其分布函数中的某些参数。 例如：1、某种电子元件的寿命服从什么分布是完全不知道的。 2、检测一批灯泡是否合格，则每个灯泡可能合格，也可能不合格，则服从（0-1）分布，但其中的参数p未知。 对这类问题要深入研究，就必须知道与之相应的分布或分布中的参数。数理统计要解决的首要问题就是：确定一个随机变量的分布或分布中的参数。 数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议。 数理统计研究的内容非常广泛，可分为两大类： 一是：怎样有效地收集、整理有限的数据资料。 二是：怎样对所得的数据资料进行分析和研究，从而对所考察对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断—本书中参数估计和假设检验。 数理统计的基本概念 一、总体与总体的分布 在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。总体中所包含的个体的个数称为总体的容量. 容量为有限的总体称为有限总体；容量为无限的总体称为无限总体. 总体和个体之间的关系就是集合与元素之间的关系. 在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为。 例如：研究一批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体构成了研究的总体，其中每个灯泡就是个体。 但在实际问题中，我们仅仅关心灯泡的使用寿命（记表示该批灯泡的寿命）。则就是我们研究的总体（所有灯泡寿命的集合），每一个灯泡的寿命就是一个个体。 再如：考查某一群体的身高和体重，则全体人员的（身高、体重）是总体，每个人的身高和体重是个体。 由此给出定义： 总体：对所研究对象的某些指标进行试验，将试验的全部可能的观测值称为总体记为X。 个体：每一个可能的观测值称为个体。 对不同的个体，的取值一般是不同的。例如在试验中观察若干个个体就会得到的一种数值，但在试验或观察之前，无法确定会得到一组什么样的数值，所以是一个随机变量或随机向量，而的分布也就完全描述了我们所关心的指标，即总体的分布。 为方便起见，以后我们将的可能取值的全体组成的集合称为总体，或直接称随机变量为总体，的分布也就是总体的分布。 例如：正态总体：是指表示总体某个数量指标的随机变量服从正态分布。 【注1】总体的分布一般情况下是未知的，这就需要利用总体中部分个体的数据资料来对总体服从的分布进行检验—这是分布拟合检验（非参数检验）问题；有时即使知道总体所服从的分布，但分布中的参数未知，这也需利用利用总体中部分个体的数据资料来对总体服从的分布中的未知参数进行统计推断（参数估计）。而这就需要从总体中抽取若干个体进行观察，从中获得研究总体的一些观察数据，然后通过这些数据的统计分析，对总体的分布进行判断或对总体的参数做出合理的估计。而一般的方法是按照一定的原则从总体中抽取若干个体进行观察，这个过程称为随机抽样。 二、样本与样本的分布 由于每个个体的观察结果具有随机性，因此可以将第i次抽取的个体记为，则为随机变量，为此引入以下概念。 1、样本：从一个总体中，随机的抽出n个个体，通常记为这样取得的称为总体的一个样本。样本所含的个体数目称为样本容量. 【注2】：（1）由于每个 都是从总体中随机抽出的，因此是一个随机变量，而样本就是n维的随机向量。 （2）在依次取n个个体观测完毕后，得到n个具体的数据，称为样本的观测值—样本值。 因此样本本身是随机向量，而一经抽取就是一组确定的数值，这就是所谓的样本两重性。 2、简单随机样本 我们的目的是根据从总体中抽取的一个样本值对总体X的分布或某些特征进行各种分析推断，所以要求抽取的样本能很好地反映总体的特性，为此我们要求随机抽取的样本满足： （1）具有代表性。即样本的每个分量Xi与总体X有相同的分布； （2）具有独立性。即是相互独立的随机变量，也就是说，n次观察值之间是互相独立的； 满足上述两条的样本称为简单随机样本，今后如无特别说明，所说的样本均指简单随机样本。 在实际问题中，抽取简单随机样本的方法很简单： （1）放回抽样； （2）不放回抽样：有限总体，当样本容量远小于总体容量时，不放