电类高等数学电子教案第四章 导数微分习题详解.doc

第四章 导数与微分 练习题4.1 1．已知质点做直线运动，其运动方程为，其中以米为单位，以秒为单位．求 （1）质点在运动开始后前3秒内的平均速度； （2）质点在2秒到3秒内的平均速度； （3）质点在2秒时的瞬时速度． 解：（1），； （2）； （3） 。 2．设，求． 解：因为 所以 ； ； 。 练习题4.2 1．如果函数在点处的导数分别有下列情况： (1)； (2)； (3)； (4)． 试求函数的图像在对应点处的切线的倾斜角． 解：（1）因为，且，所以； （2）因为，且，所以； （3）因为，且，所以； （4）因为，且，所以。 2．求曲线在下列各点处切线的斜率． ； ； ． 解：由导数的几何意义知: (1)； (2)； (3)。 3．在抛物线上取横坐标为两点，作过这两点的割线．问该抛物线哪一点的切线平行于这条割线？ 解：设该抛物线上的点的切线平行与这条割线，当； 从而得割线得斜率为：； 又，由导数的几何意义，知，得；从而。 即过点的切线平行与这条割线。 练习题4.3 1．求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）； （2）； （3），； （4）。 2．已知，求． 解： ；；； ；。 3．求曲线在点（1，0）处的切线方程法线方程． 解：； ； 所以切线方程为：，即; 法线方程为： ，即。 练习题4.4 1．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）; (2); (3); (4). 2．求下列函数的导数： (1)； (2)． 解：(1) (2). 3．已知在交流电路中，通过的电量是时间的函数（其中均为常数），求电流强度。 解: 练习题4.5 1．求下列隐函数的导数： (1)； (2) ． 解：（1）两边对求导得 解出得 . （2）两边对求导得 ， 即 ， 解出得 . 2．求下列函数在给定点处的导数： (1) ； (2) ． 解：(1) 两边对求导得 ,解出得； . (2) 两边对求导得 ， 解出得 ； . 3．已知，求当的导数． 解： ； . 练习题4.6 1．在下面的括号中填入适当的函数，使等式成立． （1）( )=2； (2) ( ) =． 解：(1)因为 ，更一般有， (任意常数). (2)因为 ，更一般有 (任意常数). 2．下列各函数在给定条件下的增量和微分． （1），由变到；　　（2），由变到． 解：(1)， . (2), . 3．求下列函数在指定点处的微分． （1）；　　　（2）． 解：(1), , . (2)， ，. 练习题4.7 一个金属圆管，它的内半径为，当管壁厚为时，利用微分来计算这个圆管截面面积的近似值． 解：圆的面积公式为 :,由题意得: 2．求下列各函数的近似值： （1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）． 解：(1)考虑函数 , 取 ,, 因为 , , 所以 . (2) 考虑函数 , 取 ,, 因为 , , 所以 . (3) 考虑函数 , 取 ,, 因为 , 0.023, 所以. . (4) 考虑函数 , 取 ,, 因为 , , 所以 . 3、球壳的外径为20cm，厚度为2mm，求球壳体积的近似值。 解：球的体积公式为：，取，， 因为 , 所以 习题四 1．求下列各函数在给定条件下的增量和微分： （1）由0变到0.02； （2），由2变到1.99． 解：(1) (2) 2．求下列函数在指定处的微分： （1）和； （2）和． 解：（1） （2） 3．求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）， （2） （3） （4） 4．求函数在指定点处的导数： （1）设，求； （2）设，求 解：（1） （2） 5．已知，当为何值时，． 解： 令得 当 6．一质点作直线运动的方程是，求时的速度与加速度． 解： 7.对电容器充电的过程中，电容器充电的电压为，求电容器的充电速度. 解：. 8．设通过导体横截面电量()，问为何时电流最大?并求此时电流的最大值是多少? 解：， 当时，的最大值为11. 9．求下列隐函数的导数： (1)； (2) ． 解：（1）方程两边同时对求导，得 即 ， 整理得，. (2)