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313下~319页 近似值 虽然建立问题的数学模型通常是最困难的步骤，他比得上用合适的方法的得到结果的近似值。原始数学模型常常与事物的本性相似，但同时这个模型很少能彻底地解决问题。 许多专业的近似值是有效的，通常其用处是在序列中那个延伸。我们必须记住这类序列大多数集中于复平面上的某个范围内，并且有限数目的条件可得到起初符合但逐渐低于那一点的近似值。此外，必须考虑到不同类型的完全收敛性和条件性，特别是多重级数。除非序列是完全收敛的，我们必须抵制重排数据顺序的诱惑，许多问题的方程式的提出，有多个参量可选择，且某一个的选择会优于另一个。适当的，数列数据近似值的选择，必须在对余数有一个更高的限制的前提下估计，不幸的是，这常常不可能实现。因此，结果具有限制性，仅在开端有效。对于任何方程式的实际有效性而言，它确实比练习值有效，有时实验性结果可以用来证明这类近似值。如果能发现序列的高级项造成一些未被注意的性质上的影响，例如，光谱线的分裂，必须承认仅仅是实验中有限数据的协调，并不意味着一个方程式是收敛的。 另一种类型的无限序列的巨大效用是方程式的正交函数，傅立叶序列是仅有的例子。它与乘方序列的差异在于收敛性和近似值的特性。例如，即使是间断方程，也尽其所能的再呈递。此外，与乘方序列相似，有限个数据得出的近似值通常在间距，而非形成一个点。通常，正交函数有多个类型，如，三角函数，指数函数，厄米函数，勒让德多项式，及拉盖尔多项式，因为每一个选择都是最佳的，这些函数值得我们去掌握其性质。 一类非常重要的近似值由渐近线方程得出，它们类似于乘方序列，但却是分散的。随着条件的增多，起初近似值变好，但一段时间后，新增的条件使得近似值的情况逐渐恶化，有分散的变成无穷的。随着方程多样性的下降，有效条件的数量增加，自然的，使用适量数量的条件，对于多样性而言，只有有限的精确度是可得的，但它通常高于拥有有限个条件的收敛性序列。阶乘的斯特灵近似值是著名的渐进线方程。这个公式是： (1) 若n的值在范围内足够大，这个级数将得到完美精确的百分率。虽然它的绝对差异可能是巨大的，连续近似值的方法适用范围十分的广泛。比如等式变化形成的猜想： X=f(x) (2) 如果f(x)的范围是： (3) 然而： (4) 是一个比第一次试解出的x。值更好的方程式的近似根（关于x。,f(x)必须是有扩展性的）。然后通过利用f(x)的x1，就可以得到下一个近似值，以此类推，通过对原有方程进行适当的重新排列的过程，也常常可以使方程快速变形成你想要的式子，比如下面这个方程的例子： (5) 转化成： (6) 就成了前面的方程（2）。如果开始使用的值与x十分相近，这个公式就提供了一个快速得到平方根的方法，特别是用计算器计算的时候。这个连续近似值的方法可以被代数的或算术的使用，虽然，后者更常用。因为代数方法似乎是会把简单变得更复杂（第12、13节会有更深入的讨论） 有时要通过一系列的项安全方向的代换，可能才能得到一个想得到的。与上下限接近的最适的数学表达式。这个过程可能比得到某个确切的值或表达式容易。而为了达到眼下的目的，也足够了。如果一些可以忽略的值受到怀疑，这一点尤其正确。得到一个在限制条件之上的结果的实根可能十分简单。如果上限本身是可忽略的，那得到的值一定也是。这是一个从扩展式中展示可忽略的其余数的标准方法。 11.8正规系统 当一个给出的问题不是孤立的，而是一个以解决的相似问题的部分，这时我们就需要建立一个符号或运算过程的正规系统。这个系统普遍的适用于问题的所有阶段并且一旦建立，任何问题的解决方法都会变得简单起来。有时，这个数量足以发展为一个新的数学分支，不过，它很少像正规系统那样大。 例如，向量代数就不过是一个在三维空间上，通过注记设计使陷入僵局的问题简单化的系统。如果仅仅只是这样一个问题需要解决，在发展或者学习这个符号的规则的时候，它将不会具有价值。因为如何可以用向量解决的问题也可以不使用向量解决。然而，当很多应用程序不得不解决的时候，时间