华中科技大学现代控制理论3.3 线性时变连续系统态方程的解.ppt

Ch.3 线性系统的时域分析 目录(1/1) 目 录 概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结 线性时变连续系统状态方程的解(1/2) 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 严格说来,实际控制对象都是时变系统,其系统结构或参数随时间变化。 如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化;电子器件的老化使其特性也发生变化; 火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的变化等。 但是,由于时变系统的数学模型较复杂,且不易于系统分析、优化和控制,因此只要实际工程允许,都可将慢时变系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。 但对控制目标要求较高的高精度控制系统,需作为时变系统处理。 线性时变连续系统状态方程的解(2/2) 下面将讨论线性时变连续系统状态方程的求解问题,依次讨论: 线性时变连续系统齐次状态方程的解 线性时变连续系统的状态转移矩阵 非齐次状态方程的解 线性时变连续系统齐次状态方程的解(1/3) 3.3.1 线性时变连续系统齐次状态方程的解 当系统没有外部输入作用时,线性时变连续系统的状态方程为齐次状态方程,可表示为 x’(t)=A(t)x(t) 这里讨论其满足初始状态 线性时变连续系统齐次状态方程的解(2/3) 下面证明时变系统齐次状态方程的解为 x(t)=?(t,t0)x(t0) 式中,?(t,t0)为时变系统的状态转移矩阵,它定义为如下矩阵微分方程的解。 线性时变连续系统齐次状态方程的解(3/3) 证明 对解表达式x(t)=?(t,t0)x(t0)求导,则有 且 x(t0)=?(t0,t0)x(t0)=x(t0) 说明式x(t)=?(t,t0)x(t0)满足齐次状态方程及其初始条件。 根据微分方程解的唯一性，所以它是齐次状态方程的解。 时变系统齐次状态方程的解表示了系统自由运动的特性,也代表了初始状态x(t0)的转移,其转移特性完全由状态转移矩阵Φ(t,t0)决定。 线性时变连续系统的状态转移矩阵(1/1) 3.3.2 线性时变连续系统的状态转移矩阵 下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为: 状态转移矩阵的求解 状态转移矩阵的性质 状态转移矩阵的求解(1/7) 1. 状态转移矩阵的求解 对于线性时变连续系统,状态转移矩阵Φ(t,t0)是如下矩阵微分方程和初始条件 ?’(t)=A(t)?(t), ?(t)|t=0=I 的解,它是一个n×n维的关于时间变量t和t0的矩阵函数。 为了求得状态转移矩阵Φ(t,t0)的表达式,可在时间域内对该矩阵微分方程积分,即有 状态转移矩阵的求解(2/7) 如果将上式中积分号内的Φ(?1,t0)再按上式展开,则有 然后按此法继续迭代下去,并将各展开式代入式(3-59),可得 状态转移矩阵的求解(3/7) 于是,可得一个由无穷项之和组成的状态转移矩阵?(t,t0),即 上式就是线性时变连续系统的状态转移矩阵的计算公式。 在一般情况下,它不能写成封闭的解析形式。 在实际应用此公式时,可按一定的精度要求,用数值积分计算方法去近似计算t1时刻的Φ(t1,t0)的值。 状态转移矩阵的求解(4/7) 当时变的系统矩阵A(t)满足如下条件 时,时变系统的状态转移矩阵的解可以表示为 的指数形式。 也就是说,只有A(t)与?A(?)d?满足矩阵乘法的可交换条件时,上述指数表达形式的解才成立。 下面对这个条件给予证明。 状态转移矩阵的求解(5/7) 将该指数表达形式的右边展开成级数形式,有 如果上式是系统的状态转移矩阵,它必须满足状态转移矩阵的定义式。 于是,将上式的两边对时间取导数, 根据状态转移矩阵的解表达式,状态转移矩阵Φ(t,t0)的导数可表示为 状态转移矩阵的求解(6/7) 比较上述两式可知,只有A(t)和?A(?)d?满足乘法可交换条件时,时变系统的状态转移矩阵可以表示为指数形式。 因此,线性时变连续系统齐次状态方程的解也可表示为指数形式,即 状态转移矩阵的求解(7/7) 上述A(t)和?A(?)d?可交换条件一般较难以检验是否成立。 事实上,根据该可交换条件有 上式对于任意时间变量t和t0都成立的充分必要条件是:对于任意的t1和t2,下式成立 A(t1)A(t2)=A(t2)A(t1) 所以,实际上较易于检验的条件可取代A(t)和?A(?)d?可交换条件,成为时变系统的状态转移矩阵的解可表示为指数矩阵形式的充分必要条件。 状态转移矩阵的性质(1/8) 2. 状态转移矩阵的性质 时变系统的状态转移矩阵的性质