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2007-2012年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编3---代数填空题 1. 设，是的小数部分，是的小数部分，则____1___.（2007） 解 ∵，而，∴. 又∵，而，∴.∴， ∴. 2. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则=（2007） 解 由根与系数的关系得，，所以 ， 则， ＝. 3． 若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是___17____.（2007） 解 设，，则，两式相减得 ，因为101是质数，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.所以. 4．设，则.（2008） 解 ∵，∴， ∴ . 5．已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别为，，且.设满足上述要求的的最大值和最小值分别为，，则（2008） 解 根据题意，是一元二次方程的两根，所以，. ∵，∴，. ∵方程的判别式，∴. ，故，等号当且仅当时取得； ，故，等号当且仅当时取得. 所以，，于是. 6．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 . （2008） 解 到，结果都只各占1个数位，共占个数位； 到，结果都只各占2个数位，共占个数位； 到，结果都只各占3个数位，共占个数位； 到，结果都只各占4个数位，共占个数位； 到，结果都只各占5个数位，共占个数位； 此时还差个数位. 到，结果都只各占6个数位，共占个数位. 所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是的个位数字，即为1. 7．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________.（2009） 【答】. 因为是关于的一元二次方程的两个非负实根，所以 解得. ， 当时，取得最小值. 8．如果实数满足条件，，则______.（2009） 【答】 . 因为，所以.由可得 ，从而，解得. 从而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）. 把代入计算可得，所以. 9．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对. （2009） 【答】 7. 设（为正整数），则，故为有理数. 令，其中均为正整数且.从而，所以，故，所以. 同理可得（其中为正整数），则. 又，所以，所以. （1）时，有，即，易求得或（3,6）或（6,3）. （2）时，同理可求得. （3）时，同理可求得或（1,2）. （4）时，同理可求得. 因此，这样的有序数对共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）. 10．已知实数满足方程组则 . （2010） 【答】 13. 由得，把代入，可得. 因此，是一元二次方程的两个实数根，易求得这两个实数根分别为3和，所以. 11．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则 ．（2010） 【答】 ． 由题意知，点C的坐标为，． 设两点的坐标分别为，，则是方程的两根． 由根与系数的关系得． 又，则． 于是，，． 由，得． 12．将红、黑两种颜色的球摆两种球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球按摆放将这些球的位置标号为1，2，3，4，由于1与7号中间5个球，1号与12号中间有10个球，12与6中间有5个球，7与13中间有5个球，13与2中间有10个球，2与8中间有5个球，8与14中间有5个球，14与3中间有10个球，3与9中间有5个球，9与15中间有5个球，15与4中间有10个球，4与10中间有5个球，因此1，7，12，6,?13，2，8，14，3，9，15，4，10，5，11为另外的一种颜色如果多于15个则16号球与10同色，5号球与16中间有10个球，所以5与16同色所有的球，与要求不符.按摆放的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则 ．（2011） 【答】 2． 由已知，得，，，． 过D作于点E，，则，即，得， 所以或．又，所以． 又，即，得． 14．能使是完全平方数的正整数n的值为 ．（2011） 【答】 11. 当时，，若它是完全平方数，则n必为偶数． 若，则；若，则；若，则；若，则。所以，当时，都不是完全平方数． 当时，，若它是完全平方数，则为一奇数的平方。 设（k为自然数），则．由于和一奇一偶，所以，于是，故． 15．已知互不相等的实数满足，则___ ．（2012） 【答】 . 由得，代入得，整理得 ① 又由可得，代入