外推原理与Romberg求积法9.pptVIP

第三章 数值积分与数值微分 3.3 外推原理与Romberg求积法 3.3.2 Romberg 求积法 3.3.1 外推原理 3.3 外推原理与Romberg求积法 学习目标： 理解外推原理，会运用Romberg求积法。 　　在科学与工程计算中，很多算法与步长h有关，特别是数值积分、数值微分和微分方程数值解的问题。对于这些算法，我们可以通过外推技巧提高计算精度。先看一个计算π的近似值的例子，由函数sinx的Taylor展开式有 若记 则有 3.3.1 外推原理 3.3 外推原理与Romberg求积法 由此构造新的表达式： 可见，计算π的近似值的算法F(h)的截断误差是 ，而算法 的截断误差是 。外推一次，精度提高了。这就是外推法的基本 思想。 若重复以上过程，不断外推，即不断折半步长h，得到计算π的 算法序列 。随着k的增加，算法的截断误差越来越高，计算精 度越来越好。 可将外推思想推广到一般情况。设F(h) 是计算F(0)的一种近似算式， 带截断误差的表示式为 其中， 与p无关。 如果我们用h和h/q（q1）两种步长分别计算F(h)和(h/q)，则有 消去截断误差的主项，得新的算法 我们称这个过程为Richardson外推法。这里, 逼近F(0)的截断误 差是 。 只要知道 F(h)的更加完整的关于h幕的展开式，而无需知道展 开式中各个系数的具体数值，就能重复使用Richardson 外推法，直 到截断误差达到容许误差。用归纳法可以证明下面更一般的定理。 定理 3.4 假设F(h)逼近F(0)的余项为 其中， 是与h 无关的非零常数， 则由 （3.3.1） 定义的序列 有 其中 与h无关，q1。 Richardon外推法应用非常广泛和有效,下面应用于数值积分. 3.3.2 Romberg 求积法 先给出Romberg求积法的基础,即对于计算积分I=I[f]的复化梯形公式T(h),其余项为 (3.3.2) 其中, 为Bernoulli常数 。 在外推算法（3.3.1）中，取 由余项（3.3.2）可得著名的 Romberg求积方法： 其中， 表示将积分区间[a,b]作 等分相应的的复化梯形公式， 求和项包括了每次等份后新增加点上的函数值 。 表示第m次外 推所得的计算值。 可以验证，m=1时，所得外推值就是复化Simpson 公式的计算值。对给定的精确标准ε，我们可由 作为计算终止的标准。表3-3给出了计算过程，i表示第i步计算。