工科数学分工科数分 上 期末复习题.docVIP

一. 函数与极限 1.当时,是无穷小,则实数_0 ； 2．设时,与是同阶无穷小,则_________3______； 3. 设，则的间断点为，它是第 二 类间断点 4. 5. 求极限． 解： 6．求极限． 解：， 7. 已知，指出函数的间断点及其类型． 为间断点……….2分 ………3分 从而为第一类跳跃间断点，为第一类可去间断点，为第二类无穷型间断点 8.已知，试确定常数和的值． 用罗比达法则 9. 设，求 解： 10、求极限 解：原式 11. 设，则当时（B） A.与是等价无穷小量 B. 与是同阶但非等价无穷小量 C. 是比高阶的无穷小量 D. 是比低阶的无穷小量 12. 在下列函数中，在定义域上连续的函数是（B） (A) (B) (C) (D) 13. 函数的定义域是 14. 15.极限 （D） A. B. C. D. 不存在 16. 计算极限 解 原式 17. 设有无穷间断点，有可去间断点，求的值 解 由，得 因存在，故 从而 18. 设，讨论及在处的连续性 解 因为，故在处的连续 当时， 故在处连续 二. 导数与微分 1. 设，则； 2．设在可导，则= 3.设，则 4.若，则 5．设可微，且，则 6. 设，则 7.设，则（D） A. B. C. D. 8. 设，则 9. 设，则 10.求极限 解： 11．设函数 ，讨论在点处的连续性与可导性． 解：， ，由于，故在点处连续 ，故在点处不可导 12．由方程确定了隐函数，求的二阶导数． 解：…………….3’ ………..3’ 13．设，其中二阶可导，且，求和． 解： 14. 指出数列中最大的数，并说明理由． 解：设，， 故 。…………….2’ 当单调递增，当单调递减…………2’ 又，因此中最大的数就是中最大的数， 所以中最大的数是………………….2’ 15. 设函数在点处可导，求的值． 从而 由可导知… 16. 由方程确定了隐函数，求微分． 即 17. 求由参数方程所确定函数的二阶导数． 18. 已知有一阶连续导数，且，求极限 解：原式= 19. 设具有二阶连续导数，且，若 （1）确定，使在内连续； （2）求 解：（1）连续则必有 (2)当时 而 所以 20. 设函数由方程确定，求 解：对方程两边求导书 两边求导数，得 21. 确定常数的值，使函数在处连续且可导 解：， ， 由在处连续知 由在处可导知 22. 设确定了是的函数，求 解 23. 微分中值定理与导数的应用 1.曲线的拐点为 （1，0） ； 2．设，则在点处取极小值． 3. 写出拉格朗日中值定理，并给出证明. 4． 设函数在上三阶可导，且和在有界.试证：和在有界. 证明：存在正数，使得，； 由泰勒中值定理 ，介于之间； ，介于之间； 相减，相加，即得和在有界 5. 若曲线的拐点为（1, 3），则常数，； 6． 曲线的渐近线方程为； 7. 在处带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式为 ． 8. 设函数由参数方程确定，求曲线向下凸的的取值范围 解： 曲线下凸要求，即 因此对于，由于在端点连续，可取的取值范围为 9. 当时，证明： 证：在区间上函数满足lagerange定理的条件，从而存在使得 从而 另证：当时，由积分种植定理与单调性有 从而得证 10. 设在上严格单调减少，在处有极大值，则（A） A. 在处有极小值 B. 在处有极大值 C. 在处有最小值 D. 在处既无极值也无最值 11. 下列函数在上适合罗尔定理条件的是（B） A. B. C. D. 12. 设在连续、可导且单调增，， 证明：在内也单调增 解 因，故在处连续 记在与之间 当 从而在内。 又在处连续，故在单调增， 当 从而在内。 又在处连续，故在单调增， 综上述，在内也单调增 13. 求曲线在拐点处的切线方程 解：， 令，由于时，时，为拐点 故要求的切线为： 不定积分 1. 设，求 解 (09) 3. 已知的一个原函数为，则 4.计算 解： 原式 5. 计算不定积分 解：令 则原式 6. 已知的一个原函数是，求 解：由于的一个原函数是，从而 因此 7. 若 8、 下列函数中哪一个不是的原函数（C） A. B. C. D. 9. 计算不定积分 解 ， 五. 定积分 1. 计算． 解：令，当取，当时取 原式= 2．设，求． 解: , 3. ． 4． 已知函数连续，，求． 5. ．，则，当时，当时， 原式= 6． ．