工科数学析5变量可分离方程及齐次方程.pptVIP

* 变量可分离方程 小结 思考题 作业 增长与衰减模型 第二节 变量可分离方程及齐次方程 第十二章 微分方程 齐次方程 如果一阶微分方程 等式的每一边仅是一个变量的函数与这个 可分离变量的方程 或 可以写成 的形式, 易于化为形式 特点 变量的微分之积. 两端积分可得通解. 一阶微分方程 一、变量可分离方程 可分离变量的方程求通解的步骤是: 分离变量, 两边积分 1. 2. 将上式 一阶微分方程 其中C为任意常数. 由上式确定的函数 就是方程的通解 (隐式通解). 这种解方程的方法称为 分离变量法. 例1 求方程 的通解. 注意: 反映某种函数指数增长或指数衰减的现象. 一阶微分方程 一阶微分方程 例2 求方程 的通解. 解 分离变量 两端积分 为方程的通解. 隐式通解 二、齐次方程 如果一阶微分方程可以写成 齐次方程. 即 得到 u 满足的方程 即 的形式, 作变量代换 代入 则称之为 可分离变量的方程 分离变量 两边积分, 求出通解后, 就得到原方程的通解. 1. 齐次型方程 一阶微分方程 但 分离变量,直接求解 得到: 这两种解都不包含在前面的通解中. 一阶微分方程 例3 求 的通解. 一阶微分方程 分析 解 令 方程变为 齐次方程 可分离变量方程 一阶微分方程 例4 两边积分 即 得通解 分离变量 一阶微分方程 为齐次型方程. (其中h和k是待定的常数) 否则为非齐次型方程. 解法 一阶微分方程 2. 可化为齐次的微分方程 的微分方程 有唯一一组解. 有唯一一组解. 得通解代回 未必有解, 上述方法不能用. 一阶微分方程 中必至少有一个为零. 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. ● ● 可分离变量. 一阶微分方程 未必有解, 上述方法不能用. 方程可化为 解 代入原方程得 一阶微分方程 例5 是非齐次型方程. 方程组 是齐次型方程. 分离变量法得 方程变为 分离变量法得 得原方程的通解 方程变为 一阶微分方程 即 或 求解下列微分方程 一阶微分方程 例6 解题提示 方程中出现 等形式的项时, 通常要做相应 的变量代换 一阶微分方程 解 求微分得 代入方程 可分离变量方程 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 一阶线性方程. 可分离变量方程 一阶微分方程 方程变形为 三、增长与衰减模型 一阶微分方程 有高为1米的半球形容器, 解 由力学知识 得,水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 开始时 容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里 流出, 例7 小孔横截面积为1平方厘米 (如图). 水从它的底部小孔 所求规律为 一阶微分方程 可分离变量方程 可分离变量的微分方程 分离变量 两端积分 一阶微分方程 四、小结 解法: 隐式(或显式)通解 一阶微分方程 一阶微分方程的解题程序 (1) 审视方程, 判断方程类型; (2) 根据不同类型, 确定解题方案; (3) 若方程的求解最终化为分离变量型的, 则作适当变换; (4) 做变量替换后得出的解, 最后一定要 还原为原变量. 思考题 一阶微分方程 A. 有极大值 B. 有极小值 C. 某邻域内单调增加 D. 某邻域内单调减少 2. 解方程 解 将方程写为 齐次方程 方程变为 即 积分得 可分离变量方程 一阶微分方程 作业 习题5.2(262页) (A)4.(5)(8) 6.(2)(4) (B)1.(2) 2.(1) 12. 一阶微分方程 * *