东北大学谢里阳教授机械可靠性工程课件.ppt

为了便于计算，通常先将似然函数取自然对数，即 　　　　 (9-5) 解方程 　　　　　　　　　　　　(9-6) 即可求得分布参数 ? 的估计值。 * 对于概率密度函数为f(x,?)，累积分布函数为F(x,?)的随机变量，如果只知道其样本中的前k个顺序统计量x(1), x(2), …, x(k)，而关于其它n-k个样本的已知信息只是大于x(k)，这种情况下的似然函数形式为 (9-7) * 如果只知道第i个样本在运行时间段[0-xi]（xi为已知量）内是否失效，不知道准确的失效时间，则有如下似然函数 (9-8) 式中，k为失效样本数，n-k为未失效样本数。 * 9.1.5 分布类型假设检验 分布类型的判断有理论法和统计法两种。理论法是根据失效机理制定的数学模型或根据某种分布的性质推导出来的。例如，失效率为常数的寿命分布为指数分布；失效由“最弱”环节决定的寿命分布为威布尔分析或极值分布；受很多独立随机因素的影响，且没有一个因素起主导作用，这种分布为正态分布等。 统计法是根据大量试验数据经统计得出的。很多同类性能在以往大量试验的基础上已经验证了其分布。例如，几何尺寸、材料性能、硬度等多服从正态分布；零件疲劳寿命则服从对数正态分布或威布尔分布等。 在使用统计法时，对分布未知的情况下应做大样本的试验，以判定其分布类型；对已有经验参考的情况则可做较小样本的试验，假设其分布类型再进行相应的拟合性检验。下面介绍通用的?2检验法和K-S检验法。 * 9.2 检验法 　检验法适用于大样本试验数据。其基本思想是，将随机试验的全部可能结果划分为 k 个互不相容的事件 A1，A2，…，Ak，在假设成立的条件下计算 P(Ai)=pi，i=1,2,…,k。在 n 次试验中，事件 Ai 出现的频率 ni/n 与 pi 常有差异。但由大数定律可知，如果试验次数很多，在假设成立的条件下，｜ni/n-pi｜的值应该很小。 由此，　检验法首先计算理论频数与实际频数间的差异，将统计量的观测值与临界值比较。满足条件则接受原假设；否则拒绝原假设。公式如下： （9-9） * * * 3.4 舍选（筛选）抽样法 舍选法通常用于概率密度函数为在有限区间定义域上有界的随机变量的抽样。对于[a,b]区间上有界的概率密度函数f(x),抽样方法如下： 1 令M=Max{f(x)} 2 生成r1, r2 3 计算x*=a+(b-a)r1 4 计算f(x*) 5 取舍标准：r2≤ f(x*)/M * 3.4 舍选（筛选）抽样法 假设要从 p(x)抽样，如果可以将 p(x)表示成 p(x)=c?h(x)g(x)，其中 h(?)是一个密度函数且容易抽样，而 0g(x)?1,c?1是常数，则X的抽样进行如下： 由 U(0,1)抽取 u,由h(y)抽取y； 如果 u ? g(y),则 x=y； 如果 u＞g(y)，回到（1）。 依据是以下定理： 设 X 的密度函数为 p(x)，且p(x)=c?h(x)g(x)，其中c?1,0＜g(x) ? 1，h(?)是一个密度函数。令 U 和 Y 分别服从 U(0,1)和 h(y)，则在U ? g(y)的条件下，有 pY(x|U?g(Y))= p(x) * 舍选（筛选）抽样法证明 证明：由条件概率、Bayes公式，及　　　　　　　　　， 有： * 舍选法的实质是，从均匀分布的随机数中选出一部分，并使选出的部分有指定的分布。这种方法可用于产生任意有界的随机变量Z。 在实际应用中，h(x)要易于抽样；抽样效率要高。 h(x)的选取不是唯一的。一种直观的方法是，如果存在一个函数M(x)，满足p(x)≤M(x)，且，令h(x)=M(x)/c，则p(x)=c?h(x)?p(x)/M(x)。若h(x)容易抽样，则： 由U(0,1)抽取u,由h(y)抽取y； 如果u ? p(y)/M(y),则x=y； 如果u＞p(y)/M(y)，回到（1）。 * 特别地，设随机变量的密度函数f(x)有界，其取值区间为[a,b]，即有M=max{f(x)|a?x?b}，则可取h(x)=1/(b-a)，c=M(b-a)，g(x)=f(x)/M 这时，舍选抽样法产生随机数的步骤为： (1)取伪随机数r1,r2; (2)产生[a,b]区间均匀分布的随机数y=a+(b-a)r1； (3)若r2?g(y)=f(y)/M,则取x=y； (4)转到（1）。 产生随机数X1，X2 Y＝a+（b-a）X1 z=Y yes no X2?f(Y) /M? * 设X为在(a,b)上的随机变量，概率密度函数为f(x)，且有g(x)=f(x)/M?1。再设X1,X2为相互独立的、（0,1）区间上均