电类高等数学电子教案三章 习题及解答.doc

第三章 极限与连续 练习题3.1 1．观察下列数列的变化趋势．若极限存在，求出该极限． （1）； （2）； （3）． 解：（1）当时，，． （2）当时，没有极限． （3）当时，，． 2．判断下列命题是否真命题．如果不真，指出错误． （1）若存在，则有意义； （2）若和都存在，则极限一定存在； （3）如果，那么； （4）如果，那么不存在． 解：（1）假命题。存在与无关； （2）假命题。若和都存在且相等，则极限存在； （3）假命题。如果，那么； （4）真命题。 3．求下列函数在处的左右极限，并指出当时，函数的极限是否存在． （1）； （2）． 解：（1），，故 ． （2），，故 不存在． 练习题3.2 1．判断下列各命题是否为真命题．如果不是，指出错在哪里． （1）无穷大必须是正数； （2）是无穷小； （3）任意多个无穷小的和仍是无穷小； （4）无穷小的倒数是无穷大． 解：都是假命题 2．利用无穷小的性质求下列极限． （1）； 　　　（2）； （3）； 　　　 （4）． 解：（1），因为当时，为无穷小量，而， 所以． （2）因为当时，为无穷小量，而， 所以． （3）因为当时，为无穷小量，而，所以 ． （4）因为当时，为无穷小量，也为无穷小量， 所以． 3．下列函数在什么条件下是无穷小?在什么条件下是无穷大?为什么? （1）； 　　　　　（2）． 解：（1），， 故当时，为无穷大量；当时，为无穷小量． （2），， 故当时，为无穷大量；当时，为无穷小量． 练习题3.3 求下列函数的极限: 1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．； 12．； 13．； 14．． 解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）． 练习题3.4 计算下列极限: （1）； （2），； （3）； （4）； （5）； （6）(为正整数)． 解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）．（为正整数） 练习题3.5 1．当时，无穷小和(1)，2． 是否同阶?是否等价? 解：（1）， 故当时，与是同阶无穷小，但不等价； （2），故当时，与是等价无穷小． 2．利用等价无穷小的性质求下列极限: （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1），则 ； （2）， 则； （3），则； （4），则 ． 练习题3.6 讨论函数，在处的连续性． 解： ，，，故在点连续． 2．求下列函数的间断点，并判断其类型: （1）； （2）． 解：（1）的定义域为，在处，，故 是的第二类间断点； （2），，故是的跳跃间断点． 3．设，试问为何值时函数在处连续? 解：，，当时，，函数在处连续． 练习题3.7 1．求下列极限: （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）； （2）； （3）； （4） ． 证明：方程至少有一个小于的正根． 解：令，在上连续，且，由根的存在定理，至少存在一点，使，即方程至少有一个小于的正根． 习题三 1．判断正误： （1）若函数在处极限存在，则在处连续． （2）分段函数必有间断点． （3）与是时的等价无穷小． （4）无界函数不一定是无穷大量． 解：（1）错（2）错（3）对（4）对 2．设 求，，． 解：； ，，故； ． 3．求下列极限 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （7）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14） ． 解：（1）因为当时，为无穷小量，为有界变量，故； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）因为 ，所以 ； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13） ； （14）． 4．试证:当时，