华中科技学现代控制理论3.5 线性离散系统状态方程的解.ppt

Ch.3 线性系统的时域分析 目录(1/1) 目 录 概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结 线性离散系统状态方程的解(1/2) 3.5 线性离散系统状态方程的解 本节研究线性定常离散系统方程的解,需解决的主要问题: 状态转移矩阵 状态转移矩阵的性质 状态方程的求解 状态方程解的各部分的意义 输出方程的解 线性离散系统状态方程的解(2/2) 线性定常离散时间系统的状态方程求解有递推法和Z变换法两种主要方法: Z变换法只能适用于线性定常离散系统, 递推法可推广到时变系统和非线性系统。 下面将分别讨论 线性定常离散系统 线性时变离散系统 的状态空间模型求解。 线性定常离散系统状态方程的解(1/1) 3.5.1 线性定常离散系统状态方程的解 下面介绍线性定常离散系统的状态方程求解的 递推法和 Z变换法。 最后讨论输出方程的解 递推法(1/10) 1. 递推法 递推法亦称迭代法。 用递推法求解线性定常离散时间系统的状态方程 x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) 时,只需在状态方程中依次令k=0,1,2,…,从而有 x(1)=Gx(0)+Hu(0) x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2x(0)+GHu(0)+Hu(1) …… 递推法(2/10) 若给出初始状态x(0),即可递推算出x(1),x(2),x(3),…重复以上步骤,可以得到如下线性离散系统状态方程的递推求解公式: 递推法(3/10) 若初始时刻k0不为0,则上述状态方程的解可表达为: 递推法(4/10) 与连续系统状态方程求解类似,对线性离散系统的状态方程求解,亦可引入状态转移矩阵。 该状态转移矩阵是下列差分方程初始条件的解: ?(k+1)=G?(k) ?(0)=I 用递推法求解上述定义式,可得 ?(k)=Gk 因此,可得线性定常离散系统状态方程另一种解表示形式: 递推法(5/10) 比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式: 连续系统 递推法(6/10) 对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明: 1. 与连续系统类似,离散系统状态响应也由两部分组成, 一部分为由初始状态引起的响应,与初始时刻后的输入无关,称为系统状态的零输入响应; 另一部分是由初始时刻后的输入所引起的响应,与初始时刻的状态值无关,称为系统状态的零状态响应。 2. 引入状态转移矩阵概念和表示之后,线性连续系统和线性离散系统的状态方程的求解公式在形式上一致,都由零输入响应和零状态响应叠加组成, 只是相应的零状态响应在形式上略有不同,一为求积分(卷积),一为求和(离散卷积),但本质是一致的。 递推法(7/10) 3. 在由输入所引起的状态响应中,第k个时刻的状态只取决于此采样时刻以前的输入采样值,而与该时刻的输入采样值u(k)无关。 这即为计算机控制系统固有的一步时滞。 递推法(8/10) 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵G的状态转移矩阵 (1) 对角线矩阵。 当G为如下对角线矩阵: G=diag{?1 ?2 … ?n} 则状态转移矩阵为 递推法(9/10) 其中?kj=k!/[(k-j)!j!]为二项式系数。 递推法(10/10) Z变换法(1/7) Z变换法(2/7) Z变换法(3/7)—例3-14 Z变换法(4/7)—例3-14 Z变换法(5/7)—例3-14 Z变换法(6/7)—例3-14 Z变换法(7/7)—例3-14 令k=0,1,2,3代入上式,可得 输出方程的解(1/2) 3. 输出方程的解 将状态方程的解代入如下线性定常离散系统的输出方程: y(k)=Cx(k)+Du(k) 中,可得输出y(k)的解为 输出方程的解(2/2) 或 线性时变离散系统状态方程的解(1/6) 3.5.2 线性时变离散系统状态方程的解 设线性时变离散系统的状态空间模型为 式中,初始时刻为k0;初始状态为x(k0)。 假定系统状态方程的解存在且惟一,则解为 式中, ?(k ,k0)称为线性时变离散系统的状态转移矩阵。 线性时变离散系统状态方程的解(2/6) 线性时变离散系统的状态转移矩阵?(k ,k0)满足如下矩阵差分方程及初始条件： 其解为 线性时变离散系统状态方程的解(3/6) 与线性定常离散系统类似,线性时变离散系统的状态求解公式可用迭代法证明。 对线性时变离散系统的状态方程，依次令k= k0, k0+1, k0+2, …,从而有 线性时变离散系统状态方程的解(4/6) 因此有 线性时变离散系统状态方程的解(5/6) 由上述状态方程解公式可知,线性时