函授 数值 课件 chap2：插值与拟合1(拉格朗日插值).ppt

华长生制作 * 第三章 插值法和最小二乘法 第三章 插值法和最小二乘法 3.1 插值法（拉氏法） 3.2 插值多项式中的误差 3.3 分段插值法 3.4 Newton插值 3.5 Hermite插值 3.6 三次样条 插值 3.7 数据拟合 本章要点 用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值,而数据拟合则是另外一类的函数近 似问题. 本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法:Lagrange插值、分段线性插值、 Newton插值、Hermite插值和三次样条插值 在本章的最后介绍了拟合的最小二乘法 3.1 插值法（拉格朗日插值） 能否存在一个性能优良、便于计算的函数 一、插值问题 ------(1) 这就是插值问题, (1)式为插值条件, 其插值函数的图象如图 二、代数插值多项式的存在唯一性 整体误差的大小反映了插值函数的好坏 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数 本章讨论的就是代数插值多项式 且满足 --------(2) --------(3) --------(4) 上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式 定理1. 由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解 --------(2) --------(3) 则满足插值条件 的插值多项式 存在且唯一. 虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一 但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法 三、Lagrange插值多项式 根据线性空间的理论 并且形式不是唯一的 且在不同的基底下有不同的形式 --------(5) -------(6) 且满足(1)式 -------(7) n+1次多项式 -------(7) 且 -------(8) (请同学们思考) 从而 令 即 由(8)式,可得 -------(9) -------(10) 其中 -------(7.7) -------(11) 例1: 解: 且 在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值 多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数, 这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个 节点中取相邻的两个节点作线性插值 Lagrange线性插值基函数为 Lagrange线性插值多项式为 参见图 例2. 解: Lagrange插值基函数为 Lagrange线性插值多项式为 所以 请编写出Lagrange插值的 Matlab 程序 程序：lagrangen.m Lagrange插值多项式的缺点： 插值基函数计算复杂 高次插值的精度不一定高 第二节 * * * * *