初等数学§51的概念的推广和弧度制.ppt

5.1.1角的概念的推广与弧度制 3、(2)轴线角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限，我们称之为轴线角。 象限角的表示 特殊角的三角函数值 课堂练习 5、弧度制 1、1弧度的角 6、弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零； 角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数R之间建立一种一一对应的关系。 用弧度制表示角时，不能与角度制混用。 探究1：弧度的概念 思考1：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？ 将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角. 思考2：在半径为r的圆中，圆心角n°所对的圆弧长如何计算？ 思考3：如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度. 那么，1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是否有关？为什么？ O A B 1 1 1rad 思考4：约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数 为0.如果将半径为r圆的一条 半径OA，绕圆心顺时针旋转到 OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB 的大小为多少弧度？ －2 rad B 2r O A r 思考5：半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的弧度数分别是多少？ 见书本第６页　探究 思考6：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？ 探究（二）：度与弧度的换算 思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换算关系？ 思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？ 3、换算公式 2、弧长公式 规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角； 问题：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？ 演示 * 1、角的概念 初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是[0o, 360o)， 这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”. 生活中很多实例会不在该范围。 体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1080o； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？ 这些例子不仅不在范围[0o, 360o) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。 2．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α． 旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”、“0o角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0o）． 角的记法：角α或可以简记成∠α. ⑶角的概念扩展的意义： 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了 ① 角有正负之分; 如：?=210?, ?= ?150?, ?=660?. ② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360?×2=720?） 3周（360?×3=1080?） ③ 还有零角, 一条射线，没有旋转. 角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角． 按逆时针方向旋转所成的角叫正角； 按顺时针方向旋转所成的角叫负角； 一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角。 ． 用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量） （2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了； （1）旋转中心：作为角的顶点. （3）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过360o，角度的绝对值可大于360o .于是就会出现720o ， － 540o等角度. 3．“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角