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传热学第四章导热问的数值解法.ppt

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传热学第四章导热问的数值解法

第四章   热传导问题的数值解法 主要内容 §4-1 导热问题数值求解的基本思想 §4-2 内节点离散方程的建立方法 §4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 §4-4 非稳态导热问题的数值解法 §4-1 导热问题数值求解的基本思想 (1) 泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式,用节点(i,j)的 温度ti,j来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j 用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点 (i-1,j)的温度ti-1,j 二、处理不规则区域的阶梯型逼近法 计算区域中出现曲线边界或倾斜边界,常用阶梯型的折线来模拟真实边界,然后再用上述方法建立边界节点的离散方程。 1)高斯——赛德尔迭代法:每次迭代计算,均是使用节点温度的必威体育精装版值。 设有一三元方程组: 其中 (i=1,2,3 ;j=1,2,3)及 是已知的系数(均不为零)及常数。 1.高斯——赛德尔迭代法:每次迭代计算,均是使用节点温度的必威体育精装版值。 采用高斯——赛德尔迭代法的步骤: (1)将三元方程变形为迭式方程: (2)假设一组解(迭代初场),记为: 并代入迭代方程求得第一 次解 每次计算均用必威体育精装版值代入。 (3)以新的初场重复计算,直到相邻两次迭代值之差小于允许值,则称迭代收敛,计算终止。 2.迭代是否收敛的判据: k及k+1表示迭代次数; —第k次迭代得到的最大值 当有接近于零的t 时,第三个较好 3.迭代能否收敛的判据 1)对于一个代数方程组,若选用的迭代方式不合适,有可能导致发散,即称迭代过程发散; 2)对于常物性导热问题,组成的差分方程组,迭代公式的选择应使一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和,此时,用迭代法求解代数方程一定收敛。 3)采用热平衡法导出差分方程时,若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量,则上述条件必满足,迭代一定收敛。 这一条件数学上称主对角线占优(对角占优); 满足对角占优的条件:82+1;51+2;42+1,所以迭代能收敛 例题 取初始迭代值为0,计算中间值如下表所示 例题 针肋如右图所示,碳钢 ?=43.2W/(m.K),求其温度分布及换热量。 解: * * Numerical Methods of Heat Conduction 1 、重点内容: ① 掌握导热问题数值解法的基本思路; ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。 2 、掌握内容:数值解法的实质。 3 、了解内容:了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。 导热问题一般为: 上述问题的解法有以下两种: 1. 理论解(analytical method): 通过对上述方程积分求得(有限情况)。 2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近似解的方法。 连续——离散(任意情况) 一、?数值解法的实质 ??? 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为:把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场,如导热物体的温度场等,用有限个离散点上的值的集合来代替,通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程,来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。 ???? 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 建立控制方程及定解条件 确定节点(区域离散化) 建立节点物理量的代数方程 设立温度场的迭代初值 求解代数方程 是否收敛 解的分析 改进初场 是 否 二、 物理问题的数值求解过程 (1)建立控制方程及定解条件 针对图示的导热问题,它的控制方程(即导热微分方程)为: 用数值解法求解二维矩形域内稳态无内热源,常物性的导热问题 (2)区域离散化(确立节点) 用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域,用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置,称为节点 (结点),节点的位置用该节点在两个方向上的标号m,n表示。相邻两节点间的距离称步长。 每一个节点可以看作是以它为中心的一个小区域的代表。它由相邻两节点连线的中垂线构成,这个小区域称作元体或控制体。 (b) x y n m (m,n) M N 基本概念:网格线、节点、步长、控制容积 (3)建立节点物理量的代数方程(离散方程) 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下: ??首先划分各节点的类型; ??其次,建立节点离散方程; ??最后,代数方程组的形成。 对节点 (m,n) 的代数

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