必威体育精装版曾谨言量子力学课件第五章ppt模版课件.ppt

量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意的解释。氢原子是最简单的原子，其 Schrodinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。 氢原子的原子核是一个质子，荷电＋e，它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点） 具有一定角动量的氢原子的径向波函数 满足下列方程： 及边条件： 以下采用自然单位，即令 是微分方程的两个奇点。 (4) 径向方程（4）的解在r＝0邻域的渐近行为是 ，但后一解不满足物理上的要求，所以 其次，讨论解在 的渐近行为。 但 不满足束缚态边条件，所以当 以上方程属于合流超几何方程，其中参数 与三维各向同性谐振子相似，在 邻域，u2解是物理上不能接受的，而只能取u1。然而，当u1为无穷级数时，对 ，这样的解也不满足束缚态要求。 因此，对于束缚态，必须要求解中断为一个多项式，这就要求a为零或负整数。 添上能量的自然单位，即得出氢原子的能量本征值。 与En相应的径向波函数可表示为： 其中 ，归一化的径向波函数为 * §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 §5.2 无限深球方势阱 §5.3 三维各向同性谐振子 §5.4 氢原子 第五章 中心力场 §5.1 中心力场中粒子运动的一般性质 在自然界中，广泛碰到物体在中心力场中运动的问题。例如，地球在太阳的万有引力场中运动，电子在原子核的库仑场中运动等。无论在经典力学中或是在量子力学中，中心力场问题都占有特别的地位。本节将讨论粒子在中心力场中运动的一些共同特点。在这里，角动量守恒起了特别重要的作用。 考虑到 ，而l又是守恒量，中心力场中的粒子运动必为平面运动。 经典力学中，在中心力场V（r）中运动的粒子，角动量为守恒量。 此式使用了角动量平方算符 L2 的表达式： 设质量为 的粒子在中心势场V（r）中运动，则H量表示为： 满足的能量本征方程为： 5.1.1 角动量守恒与径向方程 ψ(r,θ, ?) = Rl(r) Ylm(θ,?) 令 令 代入上式得： 不同中心力场中粒子的能量本征波函数的差别仅在于径向波函数Rl(r)或χl(r)，它们由中心势V(r)的性质决定。 中心力场能级一般m度简并，m有2l＋1个可能取值，所以简并度一般为（2l＋1）。 径向量子数nr nr＝0，1，2，… l＝0，1，2，3，4… s，p，d，f，g，h 5.1.2 径向波函数在 邻域的渐近行为 以下假定V（r）满足 根据波函数的统计诠释，在任何体积元中找到粒子的概率都应为有限值。当 时，则要求 。 解必须抛弃。 不违反此要求。 的解才是物理上可以接受的。或等价地，要求径向方程的解 满足 （1）基本考虑 （2）数学处理 一个电子和一个质子组成的氢原子的 Schrodinger 方程是： 二体运动可化为： I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 ； II 二粒子作为一个整体的质心运动。 5.1.3 二体问题的处理 ?1 x + r1 r2 r R ?2 O y z 将二体问题化为一体问题 令 分量式 系统 Hamilton 量则改写为： 其中 ? = ?1?2 / (?1+?2) 是折合质量。 相对坐标和质心坐标下 Schrodinger 方程形式为： 代入上式 并除以 ? (r) ? (R) 由于没有交叉项，波函数可以采用分离变量表示为： 只与 R 有关 只与 r 有关 于是： 第二式是质心运动 方程，描述能量为(ET-E) 的自由粒子的定态 Schrodinger方程，说明 质心以能量(ET-E) 作自由 运动。 我们感兴趣的是描述氢原子的内部状态的第一个方程，它描述一个质量为 ? 的粒子在势能为 V(r) 的力场中的运动。这是一个电子相对于核运动的波函数 ? (r) 所满足的方程，相对运动能量 E 就是电子的能级。 §5.2 无限深球方势阱 考虑质量为 的粒子在半径为a的球形匣子中运动，这相当粒子在一个无限深球方势阱中运动。 边条件为： 先考虑s态（l＝0），径向方程为： 在阱内，有： 粒子的能量本征值 相应的归一化波函数为 其次考虑 ，径向方程为： 引入无量纲变量 球Bessel方程，其解可取为球Bessel函数 和球Neumann函数 如果将 包括在内，则