历届压精选半百题.doc

1. 已知a≥，f（x）=－a2x2+ax+c. （1）证明对任意x∈［0，1］，f（x）≤1的充要条件是c≤; （2）已知关于x的二次方程f（x）=0有两个实根α、β，证明：|α|≤1且|β|≤1的充要条件是c≤a2－a. 2. 设f1(x)=,定义fn+1 (x)=f1［fn(x)］,an=,其中n∈N*. (1)求数列｛an｝的通项公式； （2）若T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=,其中n∈N*,试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由. 3. 已知f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),且y=f(x)的图象经过点（1，n2），数列{an}为等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为奇数时，设g(x)=［f(x)－f(－x)］，是否存在自然数m和M，使不等式mg()M恒成立？若存在，求出M－m的最小值；若不存在，说明理由. 4. 已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上有两点A1（m1,y1）,A2(m2,y2),满足a2+(y1+y2)a+y1·y2=0, 求证： （1）存在i∈{1,2},使yi=－a; （2）抛物线y=ax2+bx+c与x轴总有两个不同的交点； （3）若使该图象与x轴交点为(x1,0)(x2,0),(x1＜x2＝,则存在i∈{1,2}，使x1＜mi＜x2. 5. 设f（x）的定义域为x∈R且x≠，k∈Z，且f（x+1）=－，如果f（x）为奇函数，当0x时，f（x）=3x. （1）求f（）； （2）当2k+x2k+1（k∈Z）时，求f（x）; （3）是否存在这样的正整数k，使得当2k+x2k+1（k∈Z）时，log3f（x）x2－kx－2k有解？ 6. 已知方程x2+px+q=0有两个相异的实根. 求证:若k≠0，则方程x2+px+q+k（2x+p）=0也有两个相异的实根，并且仅有一个根在前一个方程的两根之间. 7. 已知函数f(x)满足对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1,且f（－2）=－2. （1）求f（1）的值; （2）证明:对一切大于1的正整数t，恒有f（t）t; （3）试求满足f（t）=t的整数的个数，并说明理由. 8. 若函数的定义域为，且，其中a、b为任意正实数，且。 ①求的最小值； ②确定的单调区间，并对单调递增区间加以证明； ③（理科学生做，文科学生不做）若 求证：。 9. 定义在（-1，1）上的函数f(x)满足： ①对任意都有； ②当时，有。 （Ⅰ）判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由。 （Ⅱ）判定f(x)在（-1，0）上的单调性，并给出证明。 （Ⅲ）（文）求证： （理）求证：。 10已知上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程有三个根，它们分别为. （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求证 （Ⅲ）求的取值范围. 11.已知二次函数满足以下条件： ①； ②； ③对任意实数恒成立. （1）求的表达式； （2）数列、，若对任意的实数都满足 其中是定义在实数集R上的一个函数.求数与的通项公式； （3）设圆，若圆现圆外切，是各项都是正 数且公比为的等比数列.求 12设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),方程f(x)－xx1,x2满足0x1x2． I．x(0, x1)时，证明xf (x)x1； II．f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0 13已知a、b、c是实数，f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，1≤x≤1时，f(x)│≤1． ()证明：c│≤1； (Ⅱ)证明：1≤x≤1时，g(x)│≤2； (Ⅲ)设a0，1≤x≤1时，g(x)2，f(x)．{an}是正数组成的数列，n项和为Sn，n，an2的等差中项等于Sn与2的等比中项． (1){an}的前3项； (2){an}的通项公式(写出推证过程)；，求 15已知椭圆 (ab0)，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0，0)．． n≥2. (Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)f(2x)当x≠0时成立. 17设f(x)是定义在区间上以2为周期的函数，对,用表示区间已知当时，f(x)=x2. （1）求f(x)在上的解析表达式; （2）对自然数k,求集合不等的实根} 18已知是首项为2，公比为的等比数列，为它的前项和． （1）用表示； （2）是否存在自然数和，使得成立． 19设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x1，x2∈[0，]都有f (x1＋x2) = f (x1) · f (x2)．且f (1) = a＞0． (Ⅰ)求f () 及f ()； (Ⅱ)证明f (x) 是周期函数； (Ⅲ)记an