电类高等数学电子教案第十二章 多元函数积分学题详解.doc

第十二章 多元函数积分学 练习题12.1 1．试用二重积分表示半球，的体积． 解:球面，的方程为 ， 球体的底是平面内的区域 ：， 所以这个半球的体积 ． 2．估计二重积分的值，其中：．解:由容易得到 ． 又，区域：的面积为． 于是 ． 3．比较二重积分 与 的大小，其中是由圆周所围成的闭区域． 解:圆心到直线的距离 ． 而为已知圆的半径，可见直线为圆的切线． 又显然圆心在直线的上方，于是圆域：也位于直线的上方． 从而当时，，所以． 根据性质4，有 ． 练习题12.2 1．计算下列二重积分： （1），其中由，与，围成 解: 考虑到先对积分需要用到分部积分法，而先对积分则不必用分部积分法，计算较简单，因此确定先对积分后对积分．此时，积分区域可以表示为． :，． 于是 ． （2），其中由，与围成． 解: 先对积分，后对积分．此时积分区域可以表示为： ：，． 于是 ． 2．交换下列二重积分的次序： （1）； 解: 先对后对积分时，已划分积分区域．其中 ， ； ， ． 交换积分的次序，改为先对后对积分，则积分区域可以表示为 ：， ． 于是 ． （2） 解: 先对后对积分时，积分区域可以表示为 ：， ． 交换积分次序，改为先对后对的积分，则积分区域可以划分为．其中 ， ； ， ． 于是 ． 3．利用极坐标计算下列二重积分： （1），其中由，与围成，且； 解: 化与为极坐标方程得，，．于是，积分区域可以表示为 ：， ． 从而 ． （2），其中是由两圆，所围成的环形闭区域． 解: 化，为极坐标方程得和．于是，积分区域可以表示为 ：， ． 从而 ． 4．利用二重积分计算下列曲面围成的立体的体积： （1），； 解: 首先画出立体的示意图，， 其中积分区域可以表示为 ： ， ． 于是 ． （2），，，． 解: 首先画出立体的示意图，改写为．于是立体的体积为 ， 其中积分区域可以表示为 ：，． 从而 ． 练习题12.3 设有以坐标原点为圆心，为半径的圆形平面薄板，其上任意一点处的密度为，求这个薄板的质量． 解: 根据公式，薄板的质量为，其中，区域：．考虑到密度函数的形式与积分区域的形状，选择在极坐标系下进行计算．区域在极坐标系下可以表示为 ：，． 于是，薄板的质量 ． 平面薄板所占的闭区域由抛物线以及直线所围成，它在点处的面密度为，求此薄片的重心． 解: 薄板所在的区域可以表示为 ：，． 于是 ， ， ． 因此 ，． 即薄板的重心坐标为． 平面薄板以抛物线与直线为边界，且其密度函数为．计算这个薄板对于坐标原点和坐标轴的转动惯量． 解: 薄板所在的区域可以表示为 ：，． 于是 ， ， ． 练习题12.4 1．计算，其中曲线是圆周，上从到的弧段． 解: 由，，知，．又，曲线的起点对应，终点对应，于是 ． 2．计算，其中曲线分别是： （1）直线； 解: 由，知．选择为积分变量，曲线的起点对应，终点对应，于是 ． （2）抛物线，都是从点到点． 解: 由，知．选择为积分变量，曲线的起点对应，终点对应，于是 ． 练习题12.5 计算，其中曲线是区域：，的边界正向 解: 由，，知 ， ， ． 根据格林公式，有 ， 其中区域：，．于是 ． 计算，其中曲线是上从原点到点的一段弧． 解: 因为直接化为定积分比较困难，现在考虑补充有向线段后构成闭曲线，它围成区域：，，则可以使用格林公式．即 ． 其中 ， ， ， ， ． 于是 ． 另一方面，有 ， 其中线段的方程为，．于是 ． 所以 ． 计算，其中曲线是抛物线上从原点到点的一段弧． 解: 由，，知 ， 即曲线积分与路径无关．取，则可以选择沿着折线进行积分．这时，直线段的方程为，；直线段的方程为，．从而