电类高等数学电子教案第章习题讲解.doc

第六章 不定积分 练习题6.1 求通过点且斜率为的曲线方程． 解：设所求曲线方程为，由题设知，即 ，再将时代入得，故所求曲线方程为． 2．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）＝． （2）＝ ＝． （3）＝ ＝． （4）＝ ＝ ＝． 练习题6.2 1．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）＝＝． （2）＝ ＝． （3）＝＝． （4）＝＝ ＝＝． 2．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解：（1）＝＝． （2）＝． （3）＝ ＝＝． （4）＝＝． （5）＝ ＝． （6）＝． 练习题6.3 1．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）令，则，，于是 = = =． （2）令，则，，，，于是 === = = =． （3）令，则，，于是 == = = =． （4）令，则，，于是 ==． 此题也可用凑微分法求解． ==． 2．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）因被积函数中含有，故应作变换，则，于是原积分化为 = =．（变量的回代见图6.1） 此题还可以用下面的方法求解． 设，则，，两边求微分得，，故 = = =． 两种不同方法得出两种不同的结果是正常的，这是因原函数之间相差一个常数的缘故，实际上完全可以将第二种结果化为第一种结果，但没有必要了． （2）因被积函数含，故设，则，于是 = =．变量回代见图6.3． 本题也有第（1）题中的第二种求解方法，设，则，，于是 = = =． （3）因被积函数含，故应设，则，于是 = =．变量的回代见图6.2． （4）本题除了作常规解法，作变换外还有下面的特殊解法． 设，则，，于是 = = 练习题6.4 1．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1） ． （2） =． （3） ＝． （4）== = = =． 2．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：2．（1）= = = = =． （2） = = =． （3） = =． （4）设，则，于是 = =． 习题六 1．利用导数验证下列等式的正确性： （1）； （2）． 解：（1） ＝ 成立． （2） ＝ 成立． 2．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）＝． （2）＝． （3）＝． （4）＝ ＝． 3．已知曲线上任一点的切线斜率等于切点横坐标的2倍，且曲线过点，求曲线方程． 解：设所求曲线方程为，由题意知，所以 又因所求曲线过点，即时，，故． 因此所求曲线方程是． 4．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解：（1）＝． （2）＝． （3）＝． （4）＝． （5）＝． （6）＝． 5．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）令，则，，于是 = = =． （2）令，则，，于是 ==． （3）令，则，，于是 ＝． （4）令，则，，于是 =． 6．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）；． 解：（1）令，则，，于是 ＝． （2）令，则，，于是 = ． （3）令，，于是 ． (4)． 7．求下列不定积分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 解： (1) ． (2) ． (3) ． (4)＝ ． (5)令，则，，于是 ＝ ＝． (6)令，则 ．