北京市中学生数学竞赛高一级复赛参考解答9.docVIP

2011年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛参考解答 一、选择题（满分40分，每小题8分，将答案写在下面相应的空格中） 题 号 1 2 3 4 5 答 案 1341 1．二次三项式x2+ax+b的根是实数，其中a、b是自然数，且ab=22011，则这样的二次三项式共有 个． 答：1341． 我们发现，实际上，数a和b是2的非负整数指数的幂，即，a=2k，b=22011–k，则判别式Δ=a2– 4b=22k – 422011–k=22k – 22013–k≥0，得2k≥2013–k，因此k≥=671，但k≤2011，所以k能够取2011–671+1=1341个不同的整数值．每个k恰对应一个所求的二次三项式，所以这样的二次三项式共有1341个. 2．如右图，在半径为1的圆中内接有锐角三角形ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则= ． 答：． 解：易知，圆心O及垂心H都在锐角三角形ABC的内部，延长AO交圆于N，连接AH并延长至H1与BC相交，连接CN，在Rt△CAN和Rt△AH1B中，∠ANC=∠ABC，于是有∠CAN=∠BAH1，再由AL是△ABC的角平分线，得∠1=∠2． 由条件AP⊥OH，得AH=AO=1． 连接BO交圆于M，连接AM、CM、CH，可知AMCH为平行四边形， 所以CM=AH=AO=1，BM=2，因为△MBC是直角三角形，由勾股定理得 3．已知定义在R上的函数f (x)=x2和g(x)=2x+2m，若F(x)=f (g (x)) – g (f (x))的最小值为，则m = ． 答：． 解：由f (x)=x2和g(x)=2x+2m，得 F(x)= f (g (x)) – g (f (x))=(2x+2m)2–(2x2+2m) =2x2+8mx+4m2–2m， F(x)=2x2+8mx+4m2–2m的最小值为其图像顶点的纵坐标． 由已知，，得，所以 4． ． 答：． 解1：作Rt△ADB，使得∠ADB=90o，AD=1，AB=2，则∠B=30o，BD=．延长BD到C，使BC=2，则DC=．连接AC，则∠ACB=(180o–30o)÷2=75o．作∠ACD的平分线交AD于E，则∠ECD=37.5o． 由于AC2=AD2+DC2=1+(2–)2=8–4， 所以 ． 由三角形的角平分线定理，得，于是，即，所以． 解2：作等腰直角三角形ABC，使∠C=90o，AC=BC=1，则AB=． 作∠CAD=30o，则CD=，AD=，则∠DAB=15o． 作∠BAD的平分线AE，记CE=x，则BE=1–x，DE=x– ． 所以，整理得 ． 5．设f (x) =，定义f1(x) = f (f (x))，fn(x)=f (fn–1(x)) (n=2, 3,…)，f2011(2011)= ． 答：． 解：记，则； ；； 接下来有，，，…，fn(x)的表达式是循环重复的，以3项为一周期． 所以，，． 二、（满分15分）D是正△ABC的边BC上一点，设△ABD与△ACD的内心分别为I1，I2，外心分别为O1，O2，求证：(I1O1)2+(I2O2)2=(I1I2)2． 证明：作以A为中心、逆时针旋转的变换，使△ABD到△ACD1，由于∠ADC+∠AD1C=∠ADC+∠ADB=180o，所以A、D、C、D1共圆，因此是△AD1C的外心，也就是，因此AO1=DO1=AO2=DO2=O1O2，所以∠O1AO2=∠O1DO2=60o． 由∠AO1O2+∠ACB=120o+60o=180o，O1在△ACD的外接圆⊙O2上． 由于，所以I1在⊙O2上，因此，． 同理可证，I2在△ABD的外接圆⊙O1上，所以． 由于而， 比较可得． 在△O1I1D与△DI2O2中，因为已证O1D=DO2，又 因此 △O1I1D≌△DI2O2． 所以，I1O1=DI2，DI1= I2O2. 由于△I1DI2是直角三角形. 根据勾股定理，有而I1O1=DI2，DI1=I2O2. 因此 三、（满分15分）n是正整数，记n!=1×2×3×…×n，如1!=1，2!=1×2=2， 3!= 1×2×3=6，又记[a]表示不超过a的最大整数，求方程 的所有正整数解． 解1：由于当x是正整数时，，≥，＞–1，所以＜2011即＜，得方程的正整数解x满足0＜x＜1207.5． 由于6!=720，7!=5040，所以方程的正整数解x＜7!，即 ． 因此，方程的解与原方程的解是一样的． 设小于7!的正整数x为上述方程的解，我们写出的带余除法表达式： 设，0≤r1＜6!，(0≤a≤6，a(N)；因此