华中科技大学现代控制理论4.4 对性原理.pptVIP

Ch.4 线性系统的能控性和能观性 目录(1/1) 目 录 概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结 对偶性原理(1/8) 4.4 对偶性原理 本节主要讨论状态空间模型中存在的特殊结构性问题--对偶性问题，以及对偶性原理在系统分析中的应用。 讨论的主要问题: 1. 基本概念: 对偶性的定义 2. 对偶系统的结构特征 3. 对偶性与能控性和能观性的关系 4. 对偶性的意义 对偶性原理(2/8) 从前三节的讨论中可以看出,系统状态能控性和能观性,无论是从定义或判据方面来看,在形式和结构上都极为相似。 这种相似关系可以总结成下表 对偶性原理(3/8)—对偶性定义 这种相似关系决非偶然的巧合,而是系统内在的结构上的必然联系。这种必然联系称为对偶性原理。 下面给出对偶系统的定义。 定义4-6 若给定的两个线性定常连续系统 对偶性原理(4/8) 下图是对偶系统?和 的结构图。从图中可以看出, 对偶性原理(5/8) 根据状态空间模型的对偶关系可以导出下述结论： 互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的且其特征方程相同。 现推证如下: 对于系统 ,其传递函数阵是如下r?m矩阵: 对偶性原理(6/8)—定理16 类似地，还可以得出如下结论： 互为对偶系统的特征方程和特征值相同。 对于互为对偶系统之间的状态能控性和能观性的关系,有如下定理: 定理4-16 设线性定常连续系统?(A,B,C)和 是互为对偶,则 系统?的状态能控(能观)性等价于系统 的状态能观(能控)性。 对偶性原理(7/8)—定理16 证明 对系统 而言,若能观性矩阵 对偶性原理(8/8) 即系统 的状态能观性等价于系统?的状态能控性。 同理可证,系统 的状态能控性等价于系统?的状态能观性。 上面讨论了线性定常连续系统的对偶性关系和对偶性原理,对于线性时变连续系统和线性离散系统,也存在类似的对偶性关系和对偶性原理,有兴趣的读者可参阅其他教材和文献。 对偶性概念的引入使得对线性系统的分析得以大大简化。 * * 重点喔! 要理解喔! 能控性 能观性 意义 输入 状态 控制 状态 输出 估计 代数判据 rank[B AB … An-1B]=n rank[C? A?C? … (A?)n-1C?]=n 模态判据1 同一特征值的约旦 块对应B的分块的 最后一行是否相关 同一特征值的约旦 块对应C的分块的 第一列是否相关 rank[?I-A B]=n ?? rank[?I-A? C?]=n ?? 模态判据2 满足下列关系: 则称系统?(A,B,C)和 互为对偶。  显然,若系统?(A,B,C)是一个r维输入,m维输出的n阶系统,则其对偶系统 是一个m维输入,r维输出的n阶系统。 两系统互为对偶意味着输入端与输出端互换; 信号传递方向的相反; 信号引出点和相加点的互换,对应矩阵的转置,以及时间的倒转。 即互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的。 的秩为n,则 为状态完全能观。 由对偶性关系,上式又可记为