高等数学第19讲4.5.ppt

* 高等院校非数学类本科数学课程 高等 数 学（1） 第19讲 §4.5 最大值、最小值问题 最大(小)值: 函数在区间I上所有函数值中的最大(小)者. o a x1 x2 x3 x4 b x y y=f (x) A B C D E F 在[a, b]上, 最大值为f (b), 最小值为 f (x2); 在(a, b)上, 无最大值, 最小值为 f (x2). 从函数的极值及区间端点的函数值中寻找最大(小)值. 例 求 f (x) = x4? 2x2+5在[? 2, 3]上的最值. 解 令 f (x) = 4x3? 4x = 0, 得驻点 x1= ?1, x2= 0, x3= 1. 因 f (?1) = 4, f (0) = 5, f (1) = 4, f (? 2) = 13, f (3) = 32. 所以 max f (x) = f (3) = 32, min f (x) = f (?1) = f (1) = 4 x o y a b a b y=f (x) x o y y=f (x) 若在[a, b]上 f (x)?, 则 max f (x) = f (b), min f (x) = f (a); 若在[a, b]上 f (x)?, 则 max f (x) = f (a), min f (x) = f (b). f (x) x o y x0 f (x) x o y x0 A B B A I I 若在区间I上 f (x)只有唯一的极大值 f (x0), 而无极小值, 则max f (x) = f (x0); 若在区间I上 f (x)只有唯一的极小值 f (x0), 而无极大值, 则min f (x) = f (x0); 例2 试证: 当 0 x +?时, 恒有 只要证 即要证 min f (x) 0 . (x 0) 所以 f (x)? . 证法一 : 又 所以 min f (x) 0 . (x 0) 证法二 : 要证 只要证 令 f (x) = lnx, 在区间[x, 1+x]运用拉氏中值定理, 有 所以 例3 做一容积为V的圆柱形密闭容器, 怎样设计才能使材料最省? 解 设容器底半径为 r , 高为h, 函数极值在经济学中的应用 一、利润最大与成本最小问题 1. 利润函数 L(Q)=R(Q)–C(Q) 利润最大的一阶必要条件: L?(Q)=R?(Q)–C ?(Q)=0 即 R?(Q)=C ?(Q) (4.19) 利润最大的二阶充分条件: L??(Q)=R??(Q)–C??(Q)=0 即 R??(Q)C ??(Q) (4.20) 称(4.19)与(4.20)式为“最大利润原则”或“亏损最小原则”. 2. 总成本函数C(Q), 平均成本函数 平均成本最小的一阶必要条件: (4.21)式说明边际成本等于平均成本时平均成本最小. (4.21) 亦即 例1 设某产品的成本函数为 C(Q)=1000 +60Q – 0.3Q2 + 0.001Q3, 产品的单位售价为60元, 问产量为多少时可获最大利润? 解 所以Q=200时, 能使利润最大. 最大利润为: 例2 设某产品的总成本函数为 假定厂家有权自定价格, 其价格由自身产出水平决定: P=120 – 0.15Q, 问产量为多少时可获最大利润? 并求此时的价格. 解 例3 设成本函数为C(Q)=54+18Q+6Q2, 试求平均成本最小时的产量水平. 解 二、用边际收益确定产品的技术指标 饲养生畜问题: 生畜的食养成本取决于饲料的投入量, 在不同生长期的出肉率不一样(投入与产出的比率), 记x为饲养费, R(x)为出售生畜所得收益, 投入的饲养成本的经济效益可以用平均成本利润率来衡量. 净收益为R(x)–x, 平均净收益率为 , (平均成本利润率), 三、库存问题 假定计划期内货物的总需求为R, 分n次均匀进货且不允许缺货, 设计划期共T天, 待求的进货次数为n, 于是每次进货批量为 , 进货周期为 ; 再设库存费为C1(件/天), 每次进货费为C2, 则在计划期(T天)内的总费用E由两部分组成: * *