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Digital Image Processing 数字图像处理 第三章 图像变换 3.1 概 述 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换的性质 离散傅里叶变换的性质 离散傅里叶变换的性质 离散傅里叶变换的性质 离散傅里叶变换的性质 离散傅里叶变换的性质 离散傅里叶变换的性质 3.3 一维快速傅里叶变换 3.4 二维离散傅里叶变换 3.5 离散余弦变换 3.6 沃尔什和哈达玛变换 3.7 霍特林变换 3.8 Radon变换 霍特林变换特性 上式表明，如果K=N时，即在变换中利用所有特征向量，则误差为零。由于特征值是单调递减的 ，按照有大到小的顺序选择K(KN)个特征向量组成变换矩阵ΦK，可以使的x与x(e,K)之间均方差最小。这也说明在最小化x与x(e,K)之间的均方差的意义上说，霍特林变换是最优的。 一维FDCT 基于代数分解的快速算法 二维DCT 由于二维离散余弦变换的可分离性，二维DCT可以用一维DCT来实现 Matlab实现 RGB=imread(image2.jpg); %装入真彩图像 figure(1); imshow(RGB); %显示彩色图像 GRAY=rgb2gray(RGB); %将真彩图像转换为灰度图像 figure(2); imshow(GRAY); %显示灰度图像 DCT=dct2(GRAY); %进行余弦变换 figure(3); imshow(log(abs(DCT)),[ ]); %显示余弦变换 例 Matlab实现 原图像 余弦变换 例 应 用 离散余弦变换在图像压缩中具有广泛的应用 例如，在JPEG图像压缩算法中，首先将输入图像划分为8?8的方块，然后对每一个方块执行二维离散余弦变换，最后将变换得到的量化的DCT系数进行编码和传送，形成压缩后的图像格式。在接受端，将量化的DCT系数进行解码，并对每个8?8方块进行二维IDCT，最后将操作完成后的块组合成一幅完整的图像。 应 用 离散余弦变换在图像压缩中具有广泛的应用 8×8方块经正变换后得到的DCT矩阵F=[F(u, v)] 的左上角代表图像的低频分量，右下角代表图像的高频分量，F(O, 0)为直流分量(DC)。DCT改变了信号能量的分布方式，使信号能量的分中于低频区(即DC与DC附近)。换言之，DCT矩阵F中大多数的DCT系数的值非常接近于零，舍弃这些接近于零的DCT系数值，就可以节约大量的存储空间，而在重构图像时又不会使图像质量显著下降。 离散沃尔什变换 离散傅里叶变换和离散余弦变换在快速算法中要用到复数乘法、三角函数乘法，运算占用时间较多。在某一些应用领域，需要更有效和便利的变换算法。离散沃尔什(Walsh)变换就是其中的一种。 1.一维离散沃尔什变换 一维沃尔什变换核： 离散沃尔什变换 一维离散沃尔什变换可写成： 一维离散沃尔什逆变换核： 一维离散沃尔什逆变换可写成： 离散沃尔什变换 一维离散沃尔什正变换与逆变换只差一个常数项1/N，所以正变换算法也可用于逆变换 。由沃尔什变换核组成的矩阵是一个对称矩阵且其行和列正交，即任意两行相乘或两列相乘后的的各数之和必为零。例如当n=2,N=4时的变换核矩阵为G4： 离散沃尔什变换 而当n=3,N=8时的变换核矩阵为G8： 离散沃尔什变换 2.二维离散沃尔什变换 二维沃尔什正变换核和逆变换核分别为： 由上式可见： 二维沃尔什正变换核和逆变换核是可分离和对称的。因此二维沃尔什变换可以用两步一维离散沃尔什变换 离散沃尔什变换 二维沃尔什正变换和逆变换分别为： 离散哈达玛变换 哈达玛变换本质上是一中特殊排序的沃尔什变换。哈达玛变换矩阵也是一个方阵，且只包括-1和+1两种矩阵元素，各行各列之间彼此是正交的。哈达玛变换核矩阵与沃尔什变换核矩阵的不同之处是行的次序不同。而哈达玛变换的最大优点在于它的变换核矩阵具有简单的递推关系，即高阶矩阵可以由低阶矩阵求得。 离散哈达玛变换 一维离散哈达玛变换 一维离散哈达玛反变换 快速哈达玛变换算法 快速哈达玛变换算法 利用矩阵分块技术或矩阵因子分解技术，便可导出快速哈达玛（FHT）变换 。下面以N＝23＝8为例说明之。 快速哈达玛变换算法 快速哈达玛变换算法 将上述两式各一分为二,可得如下关系式: 用同样的方法,将H1代入上述四式，使它们一分为二，得: 离散哈达玛变换 一维快速哈达玛变换算法