im复变函数第2讲.pptVIP

* §3 复数的乘幂与方根运算 1．乘积与商： 设有两个复数 则 结论： 两个复数乘积的模等于各自模的乘积，乘积的幅角等于各自幅角之和； 两个复数商的模等于各自模的商，商的幅角等于被除数与除数的幅角之差。 Arg(z1z2)=Argz1+Argz2，Arg(z1/z2)= Argz1-Argz2， 若记 则有 集合等式 x y O 判断下列说法是否正确？ 乘法的几何解释 (T) (F) 2.幂与根 定义z的n次幂： 定义z的负整数次幂 则有 — 棣美弗公式： 定义z的n次根： 若有 w n=z,则称w为z的n次根，记为 如何求出z的n次根？ 比较，得 由此得到方根公式 令 则 注：1．任一非零复数开 n次方，有且仅有n个不同的根； 　　2．它们均匀分布在以原点为中心，r1/n为半径的圆周上。 例题： 2. 1. §4 复平面上的点集 本节内容：介绍复平面上的几个常见概念与术语 1.邻域：平面上以z0为中心，半径为δ的圆内所有点的 集合称为z0的一个邻域,记为 2.内点：设G为一平面点集，z0为G中一点，若存在z0 的某个 邻域，该邻域内的所有点都属于G，则称z0为G的一个 内点。 去心邻域：由不等式 0|z-z0|δ所确定的点集。 注：离散的点集没有内点 4. 连通集:如果点集D中任何两点都可以用完全属于D的一 条折线连接起来。 3. 开集：如果G内的每个点都是它的内点，那么称G为开集。 5. 区域: 连通的开集称为区域。 6. 边界点与边界：设D为复平面内的一个区域，如果点p 不属于D，但p的任意小的邻域内总包含有D中的点， 这样的点p称为D的边界点。 D的所有边界点组成D的边界。区域的边界可能是 有几条曲线和一些孤立的点组成。 7. 闭区域: 区域D与它的边界一起构成闭区域或闭域，记 作 。 8. 有界域：如果区域D可以包含在一个以原点为中心的圆 里面，则称D为有界的。否则称为无界的。 有界性的数学描述: 若存在正数M,使区域D的每个点z都 满足|z|M,则称D为有界的。 9. 连续曲线: 如果实函数x=x(t).y=y(t), (a≤t ≤b)连续， 则称曲线c: z(t)=x(t)+iy(t)为复平面上的一条 连续曲线。 z(a)与z(b)分别称为c的起点和终 点。 在平面直角坐标系中表示一条曲线，自然地，复数方程 就表示复平面上的一条曲线。 我们知道，实变量参数方程 11. 简单曲线与简单闭曲线：连续但自身不相交的曲线称 为简单曲线或若当（Jardan)曲线。如果简单曲线的 起点与终点重合，即z(a)＝z(b)，则称此曲线为简单 闭曲线。 12. 简单闭曲线的内部与外部：复平面中的任一条简单闭 曲线c把整个平面唯一地分成三个部分，一个是有界区 域，称为c的内部，另一个是无界区域，称为c的外部， c为它们的公共边界。 10. 光滑曲线：若x(t)和y(t)的导数也是连续的，且满足 ，称此曲线为是光滑的。