复变函数4.1.ppt

1、 复数列的极限 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 §4.1复级数的基本性质 2、复数项级数 3、复函数项级数 4、解析函数项级数 1、复数列的极限 定义 记作 复数列收敛的条件 那末对于任意给定的 就能找到一个正数N, 证 从而有 所以 同理 反之, 如果 从而 定理：数列收敛的Cauchy准则 课堂练习: 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限. 1.定义 表达式 称为复数项级数. 称为级数的部分和. 部分和： 若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限, 2、复数项级数 即 收敛与发散（敛散性） 注： 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散性的基本方法是: 则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成 否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有限极限,则称级数(4.1)为发散. 定理4.1 设 ??n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为: 分别收敛于a及b. 复数项级数收敛的条件 实数项级数 注：该定理的说明复数项级数的审敛问题可转化为 实数项级数的审敛问题 分别收敛于a及b? 解 例1、 所以原级数发散 定理4.2 (Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:对任给ε0,存在正整数N(ε),当nN且p为任何正整数时 |?n+1+ ? n+2+…+ ? n+p|ε 推论2 收敛级数的各项必是有界的. 推论1 收敛级数的通项必趋于零: (事实上，取p=1,则必有|an+1|ε)，常用其等价命题： 不存在，则级数(4.1)发散 推论3 若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原 级数同为收敛或同为发散. 定理 4.3 复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数 收敛. |an+1+an+2+…+an+p|≤|an+1|+|an+2|+…+|an+p|, 定义4.2 若级数 收敛,则原级数 称 为绝对收敛;非绝对收敛的级数,称为条件收敛. 绝对收敛与条件收敛 证 由于 若 收敛,则由定理4.2,必 收敛 定理4.4 (1)一个绝对收敛的复级数的各项可以 任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其 和.(2)两个绝对收敛的复级数 s=a1+a2+…+an+… s/=a1/+a2/+…+an/+… 可按右图所示的对角 线法（Cauchy乘积） 得出乘积级数 a1a1＇+(a1a2＇+a2a1＇)+…+(a1an＇+a2an-1＇+ … +ana1＇)+… 它收敛于ss＇. 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限. 而 解 例2、 所以数列发散. 例3 解 级数满足必要条件, 但 例4 故原级数收敛, 且为绝对收敛. 因为 所以由正项级数的比值判别法知: 解 定义4.3 设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2) 的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,级数4.2均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为: 任给ε0,以及给定的z∈E,存在正整数N=N(ε,z), 使当nN时,有|f(z)-sn(z)|ε,式中: 3、复函数项级数 用ε—N的说法来描述这件事就是: 定义4.4 对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数f(z), 使对任给的ε0,存在正整数N=N(z),当nN时,对一切 的z∈E均有 |f(z)-sn(z)|ε, 则称级数(4.2)在E上一致收敛于f(z). 记作: