华中科技大学现代控制理论2.4 状态空间模型的线性变换约旦规范形.ppt

Ch.2 控制系统的状态空间模型 目录(1/1) 目 录 概述 2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵 2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(1/8) 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形 从上一节的讨论可知,同一个系统的状态空间模型,即使其维数相同,但其具体结构和系数矩阵也是多种多样的, 如系统矩阵A可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的, 也可以为其他形式的。 即, 状态空间模型不具有唯一性。 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(2/8) 为何同一个系统具有不同的状态空间模型? 原因: 状态变量的不同选择 这就产生了一个问题: 各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何? 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(3/8) 此外,在控制系统的分析和设计中,某些特殊的系统数学模型对讨论问题相对简单得多,如前面建立的对角线规范形的和约旦规范形。 于是自然会提出如下问题: 如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型,以降低系统的分析问题和设计问题的难度。 解决上述两个问题,就需引入状态空间的线性变换。 什么是状态空间的线性变换? 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(4/8) 状态变量是一组实变量,它们所组成的状态空间为一个实线性空间。 由线性代数知识可知,线性空间中,随着表征空间坐标的基底的选取的不同,空间中的点关于各种基底的坐标亦不同。 这些基底之间的关系为进行了一次坐标变换,而空间中的点的 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(5/8) n维空间中的旋转变换、极坐标变换,线性空间中的相似变换,都属于空间变换。 其中旋转变换和相似变换还属于线性变换。 状态空间中由于状态变量的不同选择类似于线性空间中的坐标架的不同选择， 同一个系统不同选择状态变量组之间存在类似于线性空间不同坐标架之间的线性变换, 因此我们将在状态空间中坐标变换称为状态空间的线性变换。 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(6/8) 引入坐标变换和状态空间线性变换等概念,实际上就回答了上述两个问题: 1. 不同选取状态变量之间存在一个坐标变换,其相应的状态空间模型之间也存在一个相应的相似变换。 2. 既然可以对状态变量和状态空间模型进行线性变换,则在一定条件下应可以将一般形式的状态空间模型变换成某种特殊的状态空间模型。 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(7/8) 本节主要讨论状态空间的线性变换,以及如何系统状态空间描述的约旦规范形。 本章关键问题: 1. 线性变换的几何及空间意义,建立空间想象力 2. 如何作系统线性变换 3. 系统的对角规范形和约旦规范形描述 4. 代数重数、几何重数与约旦矩阵 5. 如何求矩阵的广义特征向量 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(8/8) 主要内容为: 状态空间的线性变换 系统特征值的不变性与系统的不变量 化状态方程为对角线规范形 化状态方程为约旦规范形 状态空间的线性变换(1/2) 2.4.1 状态空间的线性变换 对于一个n阶动态系统,可通过选择适当的n个状态变量以建立状态空间模型来描述它。 但是,这n个状态变量的选择却不是唯一的。 这一点可利用线性代数中的基底不唯一来理解。 一个n维线性独立的状态变量向量,在n维状态空间中构成一个坐标系,即相当于空间中的一个基底。 根据线性代数知识,在这个空间中还存在另外的坐标系,且与原坐标系存在一个线性变换关系。 状态空间的线性变换(2/2) 下面分别讨论: 状态空间的线性变换 状态空间模型的线性变换 状态空间的线性变换(1/1) 1. 状态空间的线性变换 设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别为 状态空间的线性变换(1/14) 2.状态空间模型的线性变换 状态空间的线性变换(2/14) 状态空间的线性变换(3/14)—逆矩阵的计算 状态空间的线性变换(4/14)—计算伴随矩阵法 1. 计算伴随矩阵法 该方法计算式如下: P-1=adj(P)/|P| 其中adj(P)和|P|分别为矩阵P的伴随矩阵和行列式。 伴随矩阵的定义与计算如下: 设有矩阵P为 状态空间的线性变换(5/14)—计算伴随矩阵法 则其伴随矩阵为: 状态空间的线性变换(6/14) —计算伴随矩阵法 状态空间的线性变换(7/14) —计算伴随矩阵法 状态空间的线性变换(8/14) —计算伴随矩阵法 状态空间的线性变换(9/14)—初等变换法 2. 初等变换法 初等变换法(即三角矩阵变换法)求逆矩阵P-1的思想为: 将矩阵P与单位矩阵I组成增广矩阵[P I]