大学数学竞赛旋转曲面参数方程.docVIP

旋转曲面的参数方程 ---------利用正交变换作旋转 众所周知，坐标面上的曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的方程为 （1） （见同济大学《高等数学》（5版上册），313页）。 如果以上曲线的方程能写成显函数（），则该旋转曲面的方程为 或 （2） 这个方程的几何意义是：对曲线上的每一点，这个方程给出圆心在，半径为的一个垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程是显函数（），我们也可以用参数方程来表示这个旋转面： （，） （3） 这个方程的几何意义是：对每一个，参数方程给出一个半径为的垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 如果曲线的方程能写成参数方程（），则旋转曲面的参数方程为： （，） （4） 这个方程的几何意义是：对每一个，参数方程给出一个半径为的垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。 推而广之，如果该曲线是空间曲线，其参数方程为 （），则此曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的参数方程为： （，） （5） 这个方程的几何意义是：对每一个，参数方程给出一个半径为的垂直于轴的圆。当取遍中的每一个值时，这些圆就构成一个旋转曲面。（见同济大学《高等数学》（5版上册），322页））。 例1 坐标面上的圆?（）绕轴旋转而成的旋转曲面为一圆环面。为了得到圆环面的参数方程，先将圆用参数方程表示为（），再用方程（4）得到圆环面的参数方程： （，） 如图1（取）。 图1 圆环面 绘制图1的Mathematica程序： a=1;b=3; xx[t_]:=0;yy[t_]:=b+a Cos[t];zz[t_]:=a Sin[t]; r[t_]:=Abs[yy[t]]; x[t_,theta_]:=r[t] Cos[theta];y[t_,theta_]:=r[t] Sin[theta];z[t_,theta_]:=zz[t]; Quxian=ParametricPlot3D[{xx[t],yy[t],zz[t]},{t,0 ,2 Pi},PlotStyle??{Red,Thickness[0.02]}]; Qumian=ParametricPlot3D[{x[t,theta],y[t,theta],z[t,theta]},{t,0,2 Pi},{theta,0,2 Pi},PlotPoints??40]; X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-5,5},PlotStyle??AbsoluteThickness[3]]; Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-5,5},PlotStyle??AbsoluteThickness[3]]; Z=ParametricPlot3D[{0,0,z},{z,-2,2},PlotStyle??AbsoluteThickness[3]]; XYZ=Show[X,Y,Z]; Show[Qumian,Quxian,XYZ,PlotRange??{{-5,5},{-5,5},{-3,3}},Boxed??False,Axes??False,ViewPoint??{5,4,3}] 例2 空间直线?（）绕轴旋转而成的旋转曲面为一单叶双曲面。用方程（5）得到单叶双曲面的参数方程： （，） （见同济大学《高等数学》（5版上册），322页））。如图2 图2 单叶双曲面 绘制图2的Mathematica程序： xx[t_]:=1;yy[t_]:=t;zz[t_]:=2t; r[t_]:=Sqrt[xx[t]^2+yy[t]^2]; x[t_,theta_]:=r[t] Cos[theta];y[t_,theta_]:=r[t] Sin[theta];z[t_,theta_]:=zz[t]; Quxian=ParametricPlot3D[{xx[t],yy[t],zz[t]},{t,-1.2 ,1.2},PlotStyle??{Red,Thickness[0.02]}]; Qumian=ParametricPlot3D[{x[t,theta],y[t,theta],z[t,theta]},{t,-1,1},{theta,0,2 Pi},PlotPoints??40]; X=ParametricPlot3D[{x,0,0},{x,-2,2},PlotStyle??AbsoluteThickness[3]]; Y=ParametricPlot3D[{0,y,0},{y,-2,2},PlotStyle??AbsoluteThi