2010届高三应知应会讲义(附加部分)——矩阵与变换(孔凡海).doc

矩阵与变换 一、考试说明要求： 内容 要求 A B C 矩阵的有关概念 √ 二阶矩阵与平面向量 √ 常见的平面变换 √ 矩阵的复合与矩阵的乘法 √ 二阶逆矩阵 √ 二阶矩阵的特征值和特征向量 √ 二阶矩阵的简单应用 √ 90°． （1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2； （2）求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标． 解 （1）M1＝＝ ＝ ，所以M ＝ ＝ ． 故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1，2)． 说明 考查常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序． 2．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． （1）求矩阵M； （2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程． 解 （1）设M=，则有=，=， 所以 解得，所以M=． 任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P’(x’，y’)． 因为，所以又m：， 所以直线l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0． 说明：考查利用二阶矩阵与平面向量乘法的知识求二阶矩阵的方法求一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法． 3设矩阵λ1=3，λ2=－1，其对应的一个特征向量分别为，．若，试求M20． 解，解得，所以 M20= M20=4（M20）－3（M20）=4（λ120）－3（λ220） =． 说明：考查矩阵． 4．已知二阶矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A． 解 设A=，由题知=，=3即，解之得： A=． 说明 考查特征值和特征向量的概念，掌握用待定系数法求二阶矩阵的方法． 5．运用旋转变换矩阵．求曲线xy＝3绕原点顺时针旋转45°角后所得的曲线方程． 解 绕原点顺时针旋转45°的变换矩阵为，即． 任取曲线上一点P(x，y)绕原点顺时针旋转45°角后所得点P’(x’，y’)． 则＝ ＝， 所以 解得 代入xy＝3得，x’2－y’2＝6． 故曲线的方程为x2－y2＝6． 说明 考查常见的旋转变换，掌握求一曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法． 6．求矩阵A=的逆矩阵； 利用逆矩阵知识解方程组． 解设逆矩阵为，则由得 解得 所以 (2)，即说明 考查逆变换与逆矩阵的概念，掌握用逆矩阵的知识求解方程组的方法． 南京市2009届高三应知应会讲义 附加题部分 3 第 3 页 共 3 页