传热学课件热学第四章.ppt

第四章 导热问题的数值解法 传热（物理）问题的数值求解过程 4.1 有限差分法的基本原理 将求解区域离散、以节点网格代替物体，以每个节点的温度作为未知量 在节点上用差分代替微分，将微分方程式近似地变成差分方程式——线性的代数方程组 解此代数方程组，得到节点上温度的近似值 4.2 稳态导热问题的差分表达式 1。内部节点的差分方程式 物理性质参数为常数的具有内热源的二维稳态导热方程： 2 边界上节点的差分方程式 1. 对流边界节点(i，j) 边界面上的节点(i，j)满足下面的第三类边界条件： * Numerical method for heat conduction 1 求解导热问题的三种基本方法： (1) 理论分析法；(2) 数值计算法；(3) 实验法 2. 三种方法的基本求解过程: (1)理论分析方法: 直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，获得解析解 (close solution) (2) 数值计算法: 把在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些点上的物理量值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解(numerical solution) (3) 实验法: 在传热学基本理论的指导下，采用实验的方法对所研究对象的传热过程进行实验研究，从而求得所求量的方法 3 三种方法的特点 (1) 分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。 (2) 数值法 在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。 (3) 实验法 传热学的基本研究方法，a 适应性不好；b 费用昂贵。 数值解法：有限差分法(finite-difference method)、有限元法(finite element method)、 有限体积法(finite volume method)、边界元法(boundary- element method)、离散元法(discrete element method)······ 建立控制方程及定解条件 区域离散化 建立节点物理量的代数方程 求解代数方程组 获得数值解并分析结果 1、基本思想： 函数 在点 的泰勒级数展开形式为： 函数 、 、 、 在点x的泰勒 级数展开式分别为： (a) (b) (c) (d) 2、函数 f（x）在点 x 的导数的有限差分表达式： 由式(a)得： 由式(b)得： 由式(a)与式(b)相减得： 由式(a)和式(c)消去 得： 由式(b)和式(d)消去 得： (e) (f) (g) (i) (h) 由式(a)和式(b)消去 得： 由(e)式～(j)式分别略去 以上各项得一阶、二阶 导数向前、向后及中心差分公式为： 、 及 (j) 、 一阶导数向前差分： 一阶导数向后差分： 一阶导数中心差分： 二阶导数向前差分： 二阶导数向后差分： 二阶导数中心差分： 一阶导数的差分及其误差： 引入下列关系式： 函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为： 图4-2 有限差分表达式的几何意义 式中： 向前和向后差分的误差比中心差分的误差高，中心差分应用较广。 图4-3间距为Δx、Δy的矩形网格 （a） 将整个区域划分步长为 的矩形有限差分网格， 节点 的坐标 (x，y)为： p i、j为整数 节点P的温度t（x，y）和热源 可表示为： 在节点P，温度对x和y的二阶导数的有限差分表达式： 将上式代入方程(a)中可得二维稳态导热方程的有限差分形式为： 如果假定正方形网格为 ,则： 物理意义：节点热平衡 图4-4 对流边界节点 （e） 假想节点 那么，在节点(i，j)处的导热方程的有 限差分形式为： ， 再利用中心差分公式，边界条件(e)式的有限差分形式为： （f） (g) 联立式(f)和式(g)，并消去 得 如果图中所示边界为绝热边界，则导热方程在节点(i，j)的有限差分形式可直接在上式中令 得到，即