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不同学力水平的学生对高中数学符号学习的个案研究_数学论文 数学论文 不同学力水平的学生对高中数学符号学习的个案研究　　在实际教学中，常听到不少学生发出感叹：数学太难学了!数学真的就那么难学吗?为什么有的学生学起来如鱼得水，而有的学生却困难重重，积重难进?依据我们多年的教学实际和平常与学生的交流，深深体会到数学符号的学习和理解是造成一部分学生数学学习困难的一个相当重要的原因．那么优秀的学生是如何学习和理解数学符号的，他们学习和理解的方式，对于其他学生的学习和我们教师有效地进行符号教学有何启迪，而学习困难的学生学习和理解数学符号的障碍何在，教师应如何依据他们的困难进行教学，带着这些问题，我们调查了洛阳某高中二年级部分不同学力水平的学生对数学符号的学习和理解情况．该高中是一所普通中学．下文中，Ｔ表示老师；Ａ１：男生，头脑灵活，数学成绩良好；Ａ２：男生，思想活跃但粗心，数学成绩较好；Ａ３：女生，比较踏实，数学成绩不错；Ｂ１：男生，踏实，但反应较慢，数学学习有困难；Ｂ２：男生，思想活跃，但不爱学习数学；Ｂ３和Ｂ４均是女生，数学成绩较差．　　一、不同学力水平的学生学习数学符号的个案及其分析　　1.不同学力水平的学生理解和记忆ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的个案研究　　下面是笔者与两位高中二年级学生之间就数学符号ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的一段对话：　　T：在学习中你是如何区别ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的?　　B１：不知道，经常把它们两个弄混．　　Ｔ：你是如何记忆它们的?　　B１：主要按课本上学习它们的先后顺序记忆，但后来总是弄混．　　Ａ１：初中学过ｙ＝ｘ２，ｙ＝ｘ３等幂的表示形式，所以就想到形如ｙ＝ｘa的函数为幂函数，另一个就是指数函数．　　Ｔ：你们能否说出ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的性质?　　Ａ１在纸上分别画出了ｙ＝ｘ２和ｙ＝ｘ３的图象，依据ｙ＝ｘ２和ｙ＝ｘ３图象说出ｙ＝ｘa的性质，而在说明ｙ＝ａx的性质时，则画的是ｙ＝２x、ｙ＝３x的图象．　　B１：这两个函数的性质是……　　T：你能否画图说明?　　此时Ｂ１努力地回忆这两个函数的图象，但把两种图象混在一起了．　　2.关于理解直线ａ在平面α内和点Ａ在平面α内的数学符号表示的个案　　Ｔ：直线ａ在平面α内和点Ａ在平面α内用数学符号怎样表示?　　Ａ２：ａα和Ａ∈α．　　Ｂ２：ａα和Ａ∈α．　　Ｂ３：ａ∈α和Ａ∈α．　　Ｂ４：ａα和Ａα．　　Ｔ：为什么这样表示?　　Ａ２：直线和平面都可以看做集合，点看做元素，在代数中集合与集合之间用表示，元素与集合之间用∈表示．　　Ｂ２：说不出来，反正老师是这样教的．　　Ｂ３：点和直线都属于平面吧．　　Ｂ４则画出了直线和点在平面内的图形．　　学生Ｂ４、Ｂ３可能发现直线在平面内，点在平面内，与元素在集合内十分相似，于是就导致了错误的理解和联想．　　分析：（1）学力水平高的学生在理解和记忆数学符号时，善于运用自己学过的知识对新知识进行理解和主动加工，使抽象的数学符号被赋予了具体的含义和丰富的经验背景，使新知对于自身来说是可以理解的．比如学生Ａ１在理解和记忆ｙ＝ａx、ｙ＝ｘa的概念和性质时，就能联系到初中学过ｙ＝２x、ｙ＝３x的有关知识；而在第二个案例中学生Ａ２则联想到代数中集合与集合之间、元素与集合之间的符号的表示，并通过对比和概括内化到自己原有的认知结构当中，从而就扩大了自己原有的认知结构，使原有认知结构更加清晰和有序．　　（2）学习困难的学生在理解数学符号时弄不清新旧知识之间的内在联系，或者使新旧知识发生了错误的联系，或者他们根本就没有想去寻找新旧知识的联系，换句话，学习困难的学生在学习数学符号时不理解符号的真正含义，既没有要求理解数学符号意义的心向，也没有掌握理解符号含义的方法，致使符号的外在表示和学生个体的内在经验背景脱节，既被动学习又机械记忆，数学符号在个体的认知结构中散落堆积，既加重学习的负担，又成了进一步学习的障碍．　　（3）高学力水平的学生在学习和理解数学符号时，能对新知识进行主动的分析和加工，因而在记忆数学符号时就能自觉对数学符号表示的相关内容进行处理，使自己认知结构中相关的概念、公式、定理形成了网状排列，使新知识和旧知识保持了一定的连续性；而学习困难的学生的记忆基本是块状结构，即学什么就记什么，从不思考不同的数学符号所表达的相同的内容，它们记忆的大量数学符号是相互孤立的，即使有联系也是混乱和松散的，有时还是错误的，因此在回忆和提取时往往显得忙乱和无效．　　3.不同学力水平的学生在解题中运用数学符号的个案研究　　（1）Ｆ（ｘ）的定义域为（ｃ，ｄ），求函数Ｆ（２x）的定义域，其中ｃ＞０，ｄ＞０．　　（2）若Ｆ（ｘb）＝ｌｏｇａx，求Ｆ（ａn），其中ｎ∈Ｎ，ｂ≠０，ａ＞0，ａ≠1．　　Ａ１：（１）因为ｃ＜ｘ＜ｄ，所以ｃ＜