有限单元法的基本概念和理论基础PPT课件.ppt

可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示： 应变分量向量 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang [2009] * /37 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang [2009] * /37 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang [2009] * /37 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang [2009] * /37 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang [2009] * /37 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang [2009] 有限单元法的基本概念和理论基础 王晓军 航空科学与工程学院固体力学研究所 航空工程先进数值计算技术 有限元法的基本思想 (1) 有限元法，也叫有限单元法，它的基本思想是将一个结构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过它们边界上的结点相互联结成为组合体。 （a）三角形单元 （b）四边形单元 二维结构的有限元离散图 （a）四面体单元 （b）六面体单元 三维实体的有限元离散图 有限元法的基本思想 (2) 有限元法用每一个单元内所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知函数或及其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函数来表示。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相同的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。这样一来，求解原来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数结点值的有限自由度问题。 (3) 有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数的结点值）的代数方程组或微分方程组。此方程组称为有限元求解方程，并表示成规范的矩阵形式。接着用数值方法求解此方程，从而得到问题的解答。 有限元法的基本思想 某型飞机前机身Catia模型图 有限元法的应用实例 某型飞机前机身有限元模型图 有限元法的应用实例 单元与结点 单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域 结点：单元与单元间的连接点。 结点力：单元与单元间通过结点的相互作用力 结点载荷：作用于结点上的外载。 注意： 1) 结点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过结点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别； 2) 结点力与结点载荷的差别 结点载荷 结点力 有限元法的基本概念 非法结构离散 有限元法的基本概念 不同材料 结点不合法 典型单元类型 单元类型 单元图形 结点数 结点自由度 杆单元 2 2 梁单元 2 3 平面单元 3 2 平面四边形 4 2 轴对称问题 3 2 板壳单元 4 6 四面体单元 4 3 有限元法的基本概念 插值函数（或位移函数） 有限元法的基本概念 用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元结点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。 选择位移函数的一般原则： 1）位移函数在单元结点的值应等于结点位移（即单元内部是连续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。 注： 为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解。 有限元法的收敛准则 收敛准则： 1) 位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）； 2) 位移函数必须包括常量应变（即线性项）； 3) 位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）； 4) 位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）； 在单元形状、结点个数确定之后，单元的位移模式的选取是影响解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛的，即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。 注： 上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件；前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的单元称为完备协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元；满足前两个条件的单元称为完备元。 影响有限元解的误差： 1) 离散误差 边界上以直线代曲线导致离散化模型与实际物体的差异。 单元数目←→计算量 2) 位移函数误差 一般情况下单元位移函数不可能与实际单元的位移场一致。 3