命题及其关系、充分条件与必要条件9.ppt

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件;3．充分条件与必要条件 (1)如果p?q，则p是q的 ，q是p的 ； (2)如果p?q，q?p，则p是q的 ． 4．反证法与证命题的逆否命题 反证法首先 ，即假定结论 ．由此出发直至推出 、 　 　　　　　　　　；证命题的逆否命题，即由　　　的否定推出 的 ．;1． 已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q 是s的必要条件． 现有下列命题： ①s是q的充要条件；②p是q的充分条件，而不是必要条件；③r是q的必要条 件， 而不是充分条件；④綈p是綈s的必要条件， 而不是充分条件；⑤r是s的 充分条件，而不是必要条件． 则正确命题的序号是(　　) A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤;2．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{ x|0x5, x∈R}，则(　　) A．“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈P”是“x∈Q”的充分必要条件 D．“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件 答案：A;3．(2009·重庆)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B;4．“ω＝2”是“函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π”的(　　) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：本题考查充分必要条件；由于y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为 T＝ ，故其最小正周期若为π，则ω＝±2，故ω＝2是其最小周期为 π的充分但不必要条件． 答案：A;5．①一个整数的平方是偶数，则这个整数是偶数；②是无理数；③经过平面 内一点和平面外一点的直线一定不在平面内；④若向量a、b是平面向量的 一组基底，则a＋b与a－b也是平面向量的一组基底． 其中正确命题的代号是______________． 解析：可用反证法证明，①②③④都为正确命题． 答案：①②③④ ; 【例2】 若ab≠0，试证a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 证明：先证必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)·(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0， 又ab≠0， ∴a2－ab＋b2＝ ≠0，因此a＋b－1＝0，即a＋b＝1. 再证充分性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0，∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.;变式2.已知a、b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1.该条件 是否为必要条件？试证明你的结论． 证明：∵a2－b2＝1，∴a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2＝(a2＋b2)－2b2＝ a2－b2＝1. 即a4－b4－2b2＝1成立的充分条件是a2－b2＝1. 另一方面又a4－b4－2b2＝1，即为a4－(b4＋2b2＋1)＝0.a4－(b2＋1)2＝0， (a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0，又a2＋b2＋1≠0，∴a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1. 因此a2－b2＝1既是a4－b4－2b2＝1的充分条件，也是a4－b4－2b2＝1的必要条件.;“正难则反”是常见的数学思想方法，比如证明一个数是无理数、一个函数不是周期函数等问题时，可考虑使用反证法，反证法在立体几何定理的推导过程中也有着较为广泛的应用．;解答：(