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“杨辉三角”与二项式系数的性质二
* “杨辉三角”与二项式系数的性质 杭州二中 徐存旭 〖图片引入〗 问题1:下表中的数字和前面所学的组合数和二项式定理的内容有什么关系? 〖引入复习〗 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 …………………… 问题2:观察数表,你能发现二项式系数的什么规律?(四人一小组讨论探究) 〖性质探究〗 表示形式的变化有时也能方便我们发现某些规律 《详解九章算术》 杨辉 杨辉三角 〖历史素材〗 〖历史素材〗 杨辉,中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家.在13世纪中叶活动于苏杭一带,其著作甚多. 他著名的数学书共五种二十一卷.著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷(1262年)、《乘除通变本末》三卷(1274年)、《田亩比类乘除算法》二卷(1275年)、《续古摘奇算法》二卷(1275年). 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面,他对筹算乘除捷算法进行总结和发展,有的还编成了歌决,如九归口决. 他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的纵横图及有关的构造方法,同时垛积术是杨辉继沈括隙积术后,关于高阶等差级数的研究.杨辉在纂类中,将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序,重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类. 他非常重视数学教育的普及和发展,在《算法通变本末》中,杨辉为初学者制订的习算纲目是中国数学教育史上的重要文献. Pascal triangle(1654) 帕斯卡三角 Petrus Apianus(1527) 〖历史素材〗 问题3:通过了解上述历史材料,你有什么感想? 〖历史素材〗 民族自豪感 历史责任感 〖历史素材〗 华人基因 重应用轻理论 重经验轻论证 表达繁难普及 落后了! 表示形式的变化有时也能方便我们发现某些规律 〖理论论证〗 二项式系数的性质: (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 〖理论论证〗 二项式系数的性质: (2)单调性与最大值 方法提炼 函数方法 〖简单应用〗 (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 …………………… 2 4 8 16 32 64 猜想: 〖理论论证〗 二项式系数的性质: (3)各二项式系数的和 小贴士:高一在学习集合知识时,好象也出现过 ,它们之间有联系吗? 方法提炼 赋值法 + + + + + + 〖简单应用〗 (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 …………………… (a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 1 4 6 4 1 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 …………………… ? 〖简单应用〗 口答课本P35第2题 *
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