2007年江苏省高中数学奥林匹克冬令营测试题(二).doc

2007年江苏省高中数学奥林匹克冬令营测试题（二） 2006.12.13 考生注意：本场考试时间3个小时，每题21分，满分共63分. 题号 一 二 三 总 分 得分 评分人 一、已知实数x,y,z满足x+y+z=1，x,y,z≥0,当a满足什么条件时，函数xy+yz+zx-axyz在x=y=z=处达到极大值. 解 令f(x,y,z)=xy+yz+zx-axyz 当z不动时，f(x,y,z)=xy（1 –az）+z（y+x）…………3分 （1）若1 –az≥0,则f(x,y,z)≤（1 –az）+z（y+x） =1-（a-2）z +（2a-3）z2-az3 令g(z) =1-（a-2）z +（2a-3）z2-az3 …………6分 对g(z) =1-（a-2）z +（2a-3）z2-az3求导得g(z) 在处达到极大值 所以a≥2,则必有。 所以，从而a≤3. …………12分 （2）若1 –az0,则z 固定时，f(x,y,z)在x=0或y=0处取得极大值。 此时f(x,y,z)=z(1-z)有极大值. 这时有≤，即a≤…………18分 又若f(x,y,z)在边界上有极大值，不妨设x=0.这时有边界极大值， 所以也有a≤. 综上可得：a≤…………21分 二、求关于x 的方程2 p+3 p=x n,其中n为大于1的正整数，p为素数的所有正整数解. 解： 若p=2，xn=13,此时无n1的整数解 …………3分 若p≠2，p为奇数，则2 p+3 p≡2 p+（-2）p ≡2p(1p+(-1)p) ≡0(mod5) ……………6分 若n1,则52∣xn,所以有52∣2 p+3 p …………9分 注意到27=128≡3(mod53) 所以0≡2 p+3 p(mod52) ≡2 p+2 7p(mod52) ≡2 p（1+2 6p） 所以26p≡-1(mod52),212p≡1(mod52) …………15分 212≡21≡4·5+1(mod52) 212p≡(4·5+1)p≡4·5C1P+1P(mod52) ≡4·P·5+1(mod52) 所以上式模25余1，当且仅当p=5. …………18分 此时25+35=32+243=275=52·11≠xn(n1) 所以原方程无正整数解且p为素数. …………21分 三、求所有正整数组(a,b,c)，使得a3+b3+c3可以被a2b,b2c,c2a整除. 解：由于条件知是三次齐次的形式，故可以设（a,b,c）=1 如果有素数p，p∣a,p∣b 由于p∣a3+b3+c3，故p∣c,不可能。 …………3分 由a2∣a3+b3+c3, b2∣a3+b3+c3, c2∣a3+b3+c3得a2b2c2∣a3+b3+c3.……6分 令，n∈N+ 不妨设a≤b≤c 由c2∣a3+b3得，从而…………9分 所以 若a≥2,则n,不可能 故a=1. …………15分 若b≥3,则c≥4(由于cb),那么 n,不可能有解等价于 实际上，892=7201，144×48=6912。 所以b=1或2 …………18分 当a=1,b=1时，c2∣13+13=2,故c=1, 当a=1,b=2时，c2∣13+23=9,故c=3. 所以原题所求的(a,b,c)为（k,k,k）及（k,2k,3k）的所有排列，k∈N+ …………21分 3 第 3 页 共 3 页 江苏省 市 中学 年级 姓名