大学数学标准化作业答案1.doc

线 性 代 数 标准化作业（答案） (A、B) 吉林大学数学中心 2013.3 参 考 答 案（第一章） 1、（1）10； （2） （3）a11x12+ a22x22+a33x32+2a12x1x2+2a13x1x3+ +2a23x2x3; （4） 2、求下列方阵的幂: （1）按乘法的定义， （2） 3、行最简形矩阵为： （1）; (2) 4、标准形矩阵为： （1） （2） 5、根据初等矩阵的性质，有 （1）原式= A作两次初等列变换可得到B，即 6、a = 8，b = 6. 7、因为A、B均为n阶矩阵，知AB+BA是n阶矩阵，又AT=A，BT=B，故 （AB+BA）T=（AB）T+（BA）T= BTAT + ATBT= BA + AB=AB+BA， 所以AB+BA是n阶对称矩阵. 参 考 答 案（第二章） 填空题 （1）7、奇排列； （2）10、偶排列； （3）i=8，j=3； （4）-a11a23a32a44；a11a23a34a42； （5）0. 2、x4的系数为2； x3的系数为-4. 3、计算行列式 （1）. （2） （3） =（a+b+c）（b-a）（c-a）（c-b）. （4）当a=0或b=0时，D=0，当ab≠0时， （5）= ==. 4、由行列式的展开定理，得 即 解得 5、 参 考 答 案（第三章） 1、填空题：（1）；（2）A=±2E，A-1=±，A*=8E； （3）； （4）1； （5）-1。 2、选择题 （1）D； （2）B； （3）C； （4）A； （5）D. 3、(1) (2) 4、 5、证 因为A可逆，所以|A|≠0，从而|B| = - |A|≠0，故B可逆. 由初等变换的性质知B=E[i, j]A，从而 AB-1=A（E[i, j]A）-1=AA-1 E[i, j]= E[i, j]. 6、对矩阵A施以初等行变换，使之变成阶梯形矩阵 由于阶梯形矩阵非零行有3行，故R（A）=3. 7、在B=（E+A）-1（E-A）的两边左乘E+A，得 （E+A）B=（E-A）， 即 E +B +A +A B=2E， 亦即 （E +B） + A（E + B）=2E， 从而 （E +B）（E + A）=2E， 所以（E +B）-1= 8、证 由于R（AB）≤min{R(A),R(B)}≤n＜m，故|AB|=0. 参 考 答 案（第四章） 1、（1）β=α1-2α2；（2）t=1; (3) t≠1; (4) n-R(A)；（5）k(1,1,…,1)T,k为任意常数；（6） . 2、（1）C； （2）D； （3）A； （4）C； （5）B； （6）D. 3、解 由R（A）=3和方程组解的性质，有Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为 所以，Ax=b的通解为 其中k为任意常数. 4、解对方程组的系数矩阵A作初等行变换 由于R(A)=3﹤5，所以基础解系中含有2个线性无关的解向量，且等价于下面的方程组 解之，得 原方程组的通解为 5、解 对方程组的增广矩阵B施以初等行变换 显然，R(A)=R(B)=3＜5，所以方程组有无穷多个解，且等价于下面的方程组 解之，得 故原方程组的通解为 6、解 β是否能由α1，α2，α3，α4线性表示、即非齐次线性方程组 x1α1 + x2α2 + x3α3 + x4α4 = β 是否有解.于是对方程组的增广矩阵施以初等行变换，得 显然，（1）当a≠-1时，b为任何值时，R（A）=R（B）=4，方程组有唯一解，所以β能由α1，α2，α3，α4唯一的线性表示； （2）当a=-1时，b≠0时，R（A）=2，R（B）=3，方程组无解，所以β不能由α1，α2，α3，α4线性表示； （3）当a=-1时，b=0时，R（A）=R（B）=2，方程组有无穷多个解，所以β能由α1，α2，α3，α4线性表示，且表示法不唯一，此时 于是方程组的通解为 故 β=（-2k1+k2）α1 + (k1-2k2+1)α2 + k1α3 + k2α4，其中k1、k2为任意的常数. 7、解由α2，α3，α4线性无关及α1=2 α2-α3知矩阵A的秩为3,因此Ax=0的基础解系有一个解向量,由α1-2 α2 + α3 +0α4 = 0得= 0， 即齐次线性方程组Ax=0的基础解系为 再由知是Ax=β的一个特解，于是方程组Ax=β的通解为 8、