凸函数的性质及其最优化理论中的应用毕业论文.doc

凸函数的性质及其在最优化理论中的应用 摘　要　给出了凸函数的定义及相关性质，研究了凸函数的的等价定义及其常用的一些判别方法，探讨了凸函数在非线性规划中的应用． 关键词　凸函数；非线性规划；梯度；凸规划 The Property of Convex Function and Its Application in Optimization Abstract：This paper deals with some questions of convex function. First of all we give a definition of convex and it’s calculation characters.Next we prove them in details.Then some equal definitions are given and proved by turns. After that applications of convex function are discussed including several examples． Keywords：Convex function；Nonlinear programming；Gradient；Convex programming 1 前言 在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论中处理某些问题时．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．对于一般的非线性函数来说，要给出极值点充分必要条件的一般表达式是困难的，但目标函数为凸函数时，却有较好的充要条件表达式．本文首先介绍凸函数的定义、性质及判定条件，最后利用凸集、凸函数解决非线性凸规划问题． 2 预备知识 2.1[1] 一般非线性规划的数学模型 (1) (1)式中是维向量．都是的映射（即自变量是维向量，因变量是实数的函数关系）． 与线性规划类似，把满足约束条件的解称为可行解，若记 ． 称为可行域．因此模型(1)式有时可简记为 ． 2.2[2] 凸集 设是维欧式空间的一点集，若任意两点的连线上的所有点满足， 则称为凸集． 2.3[3] 水平集 设函数定义在集合上，则称集合且为在集合上关于数的水平集．其中是一个数，． 这里水平集，指的是满足的那部分的集合，即为的一个子集．如下图1-1所示： 图1-1 2.4[3] 梯度 设多元函数，若在点处对于自变量的各分量的偏导数都存在，则称函数在点处一阶可导，并称向量是在点处的梯度或一阶导数． 2.5[3] 海塞矩阵 设，若在点处对于自变量的各分量的二阶偏导数都存在，则称函数在点处二阶可导，并称矩阵 为在点处的二阶导数或海塞矩阵． 3 凸函数的定义及性质 3.1 凸函数的两个定义 凸函数的定义有多种形式.一般《数学分析》中多采用分析性强的弦线法定义,而《高等数学》多采用几何直观性强的切线法定义．分别见下面的定义1及定义2. 定义1[4] 设函数在区间上有定义，若对上任意两点和实数，总有成立，则称为区间上的凸函数；若上式仅不等号成立，则称为区间上的严格凸函数． 定义2[5] 设函数在区间上可导, 如果曲线在区间位于其上任一点处切线的上方, 那么称曲线在区间上为凸的，即为区间上的凸函数． 类似的可定义凹函数. 3.2 凸函数的性质 性质1[5] 若与均为凸集上的凸函数，则也是凸集上的凸函数． 证明 和，因,都是凸集上的凸函数,则 , . 两式相加便得： . 由凸函数的定义知也是凸集上的凸函数． 性质2[5] 若为定义在凸集上的凸函数，则对任意实数，函数也是定义在上的凸函数． 证明　由于，为上的凸函数，则对于和，有 ， 上式两端均乘以，可得 ． 由凸函数的定义知是凸集上的凸函数． 推论 ，均为定义在凸集上的凸函数，则也是凸函数． 性质3[6] 设是定义在凸集上的凸函数，则对任一个实数，水平集且也是一个凸集． 证明 ，则有，作 ． 因为，是凸集，因此有 ． 即都同属于，又因为是定义在上的凸函数，故有　 　 即，则由凸集定义可知，也是一个凸集． 性质4[5] 若为定义在凸集上的凸函数，则的任一个极小点就是它在上的全局极小点，而且所有极小点形成一个凸集． 证明 设是的一个局部极小点，即在的领域内，所有都满足：，在中任取一点，连及，则存在一个，使 ． 记，则有