南师附中物竞赛讲义 10.6光学例题t.doc

10.6费马原理 光学例题 费马原理： 光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。在大部分情况下，此极值为极小值。 可得: 我们定义折射率与路径长的乘积为光程,用表示,,于是,费马原理又可表述为:光线在两点之间的实际路径,是使光程为极值的路径. 例1、如图所示，湖中有一小岛A，A与直湖岸的距离为d，湖岸边的一点B，B沿湖岸方向与A点的距离为l，一人自A点出发,要到达B点。已知他在水中游泳的速度为v1，在岸上走的速度为v2，且v1v2，要求他由A至B所用的时间最短，此人当如何先择其运动的路线? 【解析】根据费马原理,若要人由A到B的时间最短,则所走路径应类似于光线所走路径. 这时的水和岸相当于介质,折射率分别为n1、n2.设最短时间为如图所示路径.则等效光线由水到岸满足下式: 这时的C实际上为光线发生全反射的临界角. 所以,我们不难得到: 当时,人所走的路径为如图所示的路径.即沿着和垂直于岸的方向成C的角度游向岸边再在岸上走至B点. 当时,人由A直接游到B点. 【点评】本题若从运动学角度分析,也可以作出解答,但比较麻烦. 一曲率半径R=60cm的凹面镜水平放置,使其凹面向上,并在其中装满水，水的折射率为，假如装满水后水的的深度比半径R小得多，试问平行光束成像于何处? 【解析】法一:直接用折射定律和反射定律来做,未装水时,平行光束经镜面反射后通过焦点F′,它离开镜面顶点的距离为30cm,若装有水,当α、β为小角度,由图可知: 图16- 1 ,由折射定律: 法二:用逐次成像法,物体先经过平面折射成像: 再经球面反射成像: 由于是水很浅,所以: 令可得: 再经平面折射: d 26．如图所示，在焦距f=0.15m的凸透镜L主轴上有一小光源S，凸透镜L另一侧有两个反射面相向放置的平面镜OM1和OM2．平面镜OM1和OM2彼此垂直，且与透镜L主轴成450，两平面镜的交线与透镜主轴垂直．已知小光源中心到两平面镜的交线距离SO=O.9m，透镜到两平面镜的交线距离O1O=O.3m，试求： (1)小光源S在透镜主轴上共成多少个像? (2)小光源S在透镜主轴外共成多少个像? 分别指出像的虚实、位置及放大率． 由折射率为n=1.5的玻璃制成的对称的双凸透镜，在空气中焦距为30cm （1）把它放在平面镜上形成一个折、反射系统，该系统的焦距为多少？ （2）在透镜和平面镜之间注满水，水的折射率为4/3，这个系统的折射率为多少？ 【解析】(1)由于平面镜成像的对称性,从S发出的光线经透镜折射,再经平面镜反射,相当于从镜中对称的像点S′发出,经镜中透镜像折折射出的,最后再经透镜的折射成像.因此,它相当于两个相同的透镜组成的密接透镜组,如图所示.该透镜组的焦距为: (2)当在平面镜与透镜间加水后,相当于原透镜跟一个水透镜(平凹)密接,再经平面镜反射就相当于两个双凸透镜与一个双凹水透镜的密接. 在空气中的透镜焦距可按下式求得: 双凸透镜及水透镜的折射面曲率半径相同,但凸透镜和凹透镜半径的符号相反.设玻璃双凸透镜焦距为f1,水双凹透镜的焦距为f2 (均对周围介质为空气来说).则: 式中n1、n2分别为玻璃和水的折射率. 密接透镜组等效焦距为f,则有: 将n1=1.5,n2=,f1=30cm代入得: f=22.5cm 【答案】15cm,22.5cm. 【总结】此题要用到透镜的焦距公式,密接透镜的有关知识.此题非常困难,困难的原因就在于学生对这一块内容不熟悉,平时在这方面的练习不够. 好象有点问题:中间的凹透镜的两个折射面的曲率均应为r2?,答案题目把一个面的曲率看成是一个是r1,另一个面的曲率看成是r2,好象是值得研究了.研究的思路是:用四次平面折射来看看. 例10、如图5所示，两个薄凸透镜与一个平面镜及物屏共轴放在光具座上，每个凸透镜的两表面的曲率半径均为R，的焦距分别为，它们之间的距离用d表示，且更靠近物屏。物屏上开有一个箭形小孔，若左右移动物屏，同时改变d的大小，发现在物屏上可以多次得到倒立的清晰像，且左右移动平面镜对像无影响。问在物屏上能有几次得到这样的像，定量分析得到这些像的条件（在透镜面有部分光线发生反射，不考虑2次以上的反射成像）。 物屏上可以得到4个像。 1、凸透镜L1的后有面反射达到自准直成像，光路如图，设物屏到L1的距离为u1. 得 此情况一定能通过移动物屏观察到像 2、L2前表面反射达到自准直成像，光路如图，设物屏到L1的距离为u2