高中数学平面图形折叠问题的解法.doc

平面图形折叠问题的解法 　 1．展示问题，引入课题. 在立体几何中常涉及平面图形的折叠问题，它也是数学高考中的热点问题之一，今年的浙江高考的理科试卷客观题中得分率最低的是其中的第17题，许多考生花了不少时间，最终没有得到正确的结论，它恰是一个平面图形的折叠问题；我们这节课要讨论的话题就是平面图形的折叠问题；下面请我们的嘉宾闪亮登场！ 2009年高考浙江卷的第17题是: 如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是 2．研讨解法，总结规律. 师生研讨这个问题的常规解法,并总结解决平面图形折叠问题的解题要点． 分析1：当点确定时,不难发现折叠以后的立体图也随之确定, 若令,则,且可以表示成关于的函数,再求出函数的值域,即可得到的取值范围． 解法1：由题意可知,二面角是直二面角,又,所以平面,作于,连结,则,故在折叠前,三点共线,因此问题又可回归到平面图形之中,设,则,和中,,所以，所以，故，所以. 评注：解决本题的关键是目标函数的建立，如何把表示成关于的函数，即如何得到关于和的方程；由于折叠前后仅仅是与四边形的相对位置发生了变化，因此和的大小在折叠前后是不变的，上述解法的可取之处是在找关于和的方程时，完全回归到平面图图形中进行．由此总结解决平面图形折叠问题要特别关注的要点是（师生讨论总结）： (1)注意折叠前后的对照,弄清楚折叠前后那些量及位置关系没有改变,那些已经改变. (2)注意充分发挥平面图形的作用.即在具体计算时尽可能在平面图形中进行. 3．转换视角，优化解法. 启发学生从不同的视角看这个问题,得到一些新的解法,并交流讨论,大致还有以下三种解法： 分析２：注意到立体图形中，平面，因此可以点为原点建立空间坐标系，用坐标法解之． 解法2：在空间图形中,建立空间直角坐标系如图,设 则,,,, 所以,,由于, 所以,即, 故有． 评注：本解法的基本思路与解法一本质上相同,即用目标函数法解之,仅仅是使用的工具不同而已,其关键是“发现”仍是直解三角形. 分析3：由于的大小确定时，点也随之确定，折叠后的立体图形也确定了，因此也可以选择为目标函数的变量． 解法3：设，则，设折叠后，则，由于二面角是直二面角,所以，即， 所以，由于点在线段上（不包括端点），所以，从而有． 评注：本解法之所以比前面给出的解法简单，其主要原因是我们选择了一个“好的变量”，通常情况下，在用目标函数法解立体几何范围问题时，选择角的大小为变量比选择线段长为变量要简捷一些． 分析4：注意到本题是填空题，不需要给出运算过程，解法1、2显得过于“隆重”；因此也可用一些“不择手段的手段”解决之，求出极限位置时的参变量的值即可得到结论. 解法4：当动点与点重合时，可求得，当动点与点重合时，可求得，所以可猜想的取值范围是． 评注：虽然这种解法不是很严谨，但也是在应试中不错的选择． 4．顺水推舟，扩大战果． 我们不难发现,当点的位置确定时,立体图形也完全确定了,所以立体图形中的一些几何量的取值范围也是确定的，因此我们可以通过“复制”原问题的解法求解一些立体图中的几何量的范围问题．操作时可先由教师提出问题1，然后由学生发现其它问题； 问题1：设二面角的大小为，求的取值范围． 解答：由解法1可知：为二面角的平面角，,中,,由可得． 问题2：设直线与平面所成的角为，求的取值范围． 解答：易见即为直线与平面所成的角为，中, ,所以，故． 问题3：求的长的取值范围． 解答：中，设，则由问题2可知 所以，所以． 问题4：设四棱锥的体积为，求函数的表达式． 解答：设则由解法１可知，，且，四边形的面积为， （其中）． 5．改变条件，多方探究． 若改变原题的条件，把题设改为：“如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使二面角为直二面角”，请你能设计出几个立体几何问题并给出解答（下面是学生给出的一些问题及解答）． 问题1:设,求的取值范围. 解答：设,则,且,由于直二面角,即 ,因为，所以． 问题2：设,求的取值范围． 解答:在中, ,设,由问题1可知,由余弦定理可得：,所以． 问题3：设二面角的大小为,求的取值范围． 解答：作于,则,作于,连接,则,所以是二面角的平面角,设,则,,,中,,由于，（为锐角） 所以,注意到函数是区间上的增函数,由此可得 问题4:设异面直线和所成的角为,求的取值范围. 解答: 设则,作,则,且即为直线和所成的角为,由于二面角为直二面角,所以,即,所以． 问题5：设四棱锥的体积为，求函数的表达式. 解答:四边形的面积为,作于,则 , , (其中)． 事实上，对于 “点位置”和“二面角的大小