3-4欧式空间的同 正交变换.ppt

§9.4 正交变换 §9.4 正交变换 一、欧氏空间的同构 §9.3 同构 二、同构的基本性质 一、欧氏空间的同构 定义： 实数域R上欧氏空间V与V称为同构的， 如果由V到V 有一个双射 　, 满足 这样的映射　称为欧氏空间V到V的同构映射. 1、若　是欧氏空间V到V的同构映射，则　也是 线性空间V到V同构映射. 2、如果　是有限维欧氏空间V到V的同构映射， 则 3、任一　维欧氏空间V必与　 同构. 二、同构的基本性质 标准正交基， 证： 设V为　维欧氏空间，　　　　　为V的一组 在这组基下，V中每个向量　可表成 作对应 易证　是V到　 的双射. 且　满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故　为由V到 　的同构映射，从而V与　 同构. ①反身性；②对称性；③传递性. 4、同构作为欧氏空间之间的关系具有： ① 单位变换　是欧氏空间V到自身的同构映射. ② 若欧氏空间V到V的同构映射是　，则　　是 其次，对　　　　　　有　 事实上，　首先是线性空间的同构映射. 欧氏空间V到V的同构映射. 为欧氏空间V到V的同构映射. ③ 若 　分别是欧氏空间V到V、V到V的同构映射， 则　 是欧氏空间V到V 的同构映射. 事实上，首先，　 是线性空间V到V的同构映射. 其次，对　　　　　　有　 为欧氏空间V到V的同构映射. 5、两个有限维欧氏空间V与V同构 一、一般欧氏空间中的正交变换 　　§9.4 正交变换 二、n 维欧氏空间中的正交变换 一、一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 即 ， 欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 则称 为正交变换. 注： 欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广. 2.欧氏空间中的正交变换的刻划 下述命题是等价的： （定理4）设　是欧氏空间V的一个线性变换. 3） 保持向量间的距离不变，即 2） 保持向量长度不变，即 1） 是正交变换； 证明：首先证明1)与2)等价． 即， 两边开方得， 若　是正交变换，则 有， (1) (2) 若　保持向量长度不变，则对 把(3)展开得， 再由(1)(2)即得， (3) 　　是正交变换． 再证明2)与3)等价． 根据２) 故 3）成立. 若 则有， 即， 故 2）成立. 二、 n维欧氏空间中的正交变换 1. 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基 不变的线性变换． 是V的标准正交基，则 也是V 的标准正交基. 1).若 是 维欧氏空间V的正交变换， 事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质 即有， 2).若线性变换 使V的标准正交基 变成 变换． 标准正交基 　 ，则 为V的正交 证明：任取　　　　 设 由　 为标准正交基，有 　故 是正交变换． 又 由于　　　　　　　　　为标准正交基，得 2. 维欧氏空间V中的线性变换　是正交变换 　在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵． 设 为V的标准正交基，且 证明： 的标准正交基， 当 是正交变换时，由1知， 也是V 而由标准正交基 到标准 正交基　　　　　　 的过渡矩阵是正交矩阵. 设 为V的标准正交基，且 再由 1 即得　为正交变换． 由于当A是正交矩阵时， 也是V的 即， 标准正交基， 所以，A是正交矩阵． 3. 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射． 因而有 1）正交变换的逆变换是正交变换； （由同构的对称性可得之） 2）正交变换的乘积还是正交变换． （由同构的传递性可得之） 4. 　维欧氏空间中正交变换的分类： 设　维欧氏空间V中的线性变换　在标准正交基 1）如果 　则称　为第一类的（旋转）; 2）如果 　 则称　为第二类的． 下的矩阵是正交矩阵A，则 例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 定义线性变换　为： 则　为第二类的正交变换，也称之为镜面反射． §9.4 正交变换 §9.4 正交变换