函数最值问题的解方法毕业论文.doc

高等教育自学考试本科生毕业论文 函数最值问题的求解方法 专 业： 数 学 教 育 准考证号： 070105100111 姓 名： 指导教师： 完成时间： 2013年11月25日 函数最值问题的求解方法 摘 要 函数最值问题是数学领域中的重要研究内容。它不仅仅只在教学中解决一些数学问题，而且经常运用于解决实际问题。在工农业生产、经济管理和经济核算中，常常遇到一些解决在满足一定条件下怎样使产出最多、效益最高但投入最小等之类的问题。生活中也时常会见到求用料最省、效率最高、利润最大等问题。而这些生活和经济问题一般都可以转化为数学中的函数类问题来分析研究，进而转化为求函数最大（小）值的问题，即为函数的最值探讨，这尤其对研究实际问题的人们来说尤为重要。而函数最值问题的解法包括一元函数和多元函数，同时也有初等与高等解法之分。本文主要通过从初等解法方面对一元函数最值问题进行研究，探讨各种不同的求解方法，阐述函数最值问题研究的重要性，得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题. 关键词 函数 最值 高等解法 初等解法 微分 目录 1 引言 - 4 - 2 求函数最值的几种解法探讨 - 5 - 2.1 判别式法 - 5 - 2.2 配方法 - 6 - 2.3 均值不等式法 - 6 - 2.4 换元法 - 7 - 2.5 三角函数法 - 8 - 2.6 单调性法 - 9 - 2.7 导数法 - 9 - 3 求解函数最值时应注意的一些问题 - 10 - 3.1 注意定义域 - 10 - 3.2 注意值域 - 11 - 3.3 注意参变数的约束条件 - 12 - 3.4 注意对判别式的运用 - 13 - 3.5 注意均值不等式的运用 - 13 - 4 函数最值在实际问题中的应用 - 15 - 4 结论 - 19 - 致谢 - 20 - 参考文献 - 21 -  1 引言 函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要组成部分．处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化，虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通常是将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至划归为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答． 函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一．由于其综合性强，解法灵活，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，灵活选择合适的解题方法．函数最值的定义： 一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数在处的函数值是如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最小值，记作；如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最大值，记作 函数的最值一般有两种特殊情况： （1）如果函数在上单调增加(减少)， 则是在上的最小值(最大值)，是在上的最大值(最小值). （2）如果连续函数在区间内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间上的最大(小)值. 2 求函数最值的几种解法探讨 2.1 判别式法 对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件来求出的最值. 例. 求函数的最值. 解：因为，所以， 而，所以有 所以，当时，； 当时，. 应注意：用判别式法求函数的最值时，是表示或，并非要此二者同时成立.因此，在利用求出的的取值范围：或且中，不能随意断定或，还必须求出与、对应的的值，并将其代入原来的函数中进行验算，只有当、的对应值存在,并满足所求得的不等式时，才能确定为原来函数的最值. 2.2 配方法 如果给定函数是二次函数或变形后可转化为二次函数的问题，一般可用此法求解. 例. 求在区间内的最值. 解：配方得, 因为,所以，从而当即，取得最大值；当即时取得最小值1. 2.3 均值不等式法 设是n个正数，则有，其中等号成立的条件是. 运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可.“正”是指各项均为正数，这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件. 例. 设，求的