D4_4_2图形曲率.ppt

第四节 一、 曲线的渐近线 1. 水平与铅直渐近线 2. 斜渐近线 例2. 求曲线 参考题 求笛卡儿叶形线 笛卡儿叶形线 二、函数图形的描绘 例3. 描绘 例4. 描绘方程 6）绘图 例5. 描绘函数 三、 弧微分 四、曲率及其计算公式 例6. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 曲率K 的计算公式 说明: 例2. 我国铁路常用立方抛物线 例2. 我国铁路常用立方抛物线 例3. 求椭圆 补充：摆线的产生 思考与练习 * 一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数图形与曲率 第四章 三、 弧微分 四、 曲率及其计算公式 无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 但抛物线 或为“纵坐标差” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 例1. 求曲线 的渐近线 . 解: 为水平渐近线; 为垂直渐近线. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 斜渐近线 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的渐近线 . 解: 所以有铅直渐近线 及 又因 为曲线的斜渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的渐近线 . 解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 : 因 所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 参数的几何意义: 图形在第四象限 图形在第二象限 图形在第一象限 点击图中任意点 动画开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凸性区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形. 解: 1) 定义域为 无对称性及周期性. 2) 3) (极大) (拐点) (极小) 4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形. 解: 1) 定义域为 2) 求关键点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 判别曲线形态 (极大) (极小) 4) 求渐近线 为铅直渐近线 无定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又因 即 5) 求特殊点 为斜渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (极大) (极小) 斜渐近线 铅直渐近线 特殊点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无定义 的图形. 解: 1) 定义域为 图形对称于 y 轴. 2) 求关键点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 判别曲线形态 (极大) (拐点) (极大) (拐点) 为水平渐近线 5) 作图 4) 求渐近线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为 或 几何意义: 若曲线由参数方程表示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 对应切线 定义： 弧段 上的平均曲率 点 M 处的曲率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为 其长为 则弯曲度与转角成正比，与弧长成反比； 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别: 直线上任意点处的曲率为 0 有曲率近似计算公式 故曲率计算公式为 又 二阶可导, 设曲线弧 则由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 若曲线由参数方程 给出, 则 (2) 在点M处曲线凹侧的法线方向上，作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一圆，其半径为 称此圆为曲率圆，R为 曲率半径。 (3) 曲率中心坐标D(α,β)的计算公式： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作缓和曲线, 处的曲率. 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回