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1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理 通过闭合曲面有净的矢量线穿出 有净的矢量线进入 进入与穿出闭合曲面的矢量线相等 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。 通量的物理意义 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系： 称为矢量场的散度。 散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。 3、矢量场的散度 . F ? r 柱面坐标系 球面坐标系 直角坐标系 散度的表达式： 散度的有关公式： 直角坐标系下散度表达式的推导 由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为 o x y 在直角坐标系中计算 ? ·F z z D x D y D P 不失一般性，令包围P点的微体积?V 为一直平行六面体，如图所示。则 根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为 4、散度定理 体积的剖分 V S1 S2 en2 en1 S 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。 矢量场的环流与漩涡源 例如：流速场 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。 如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即： 上式建立了磁场的环流与电流的关系。 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为漩涡源。电流是磁场的漩涡源。 环流的概念 矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即 过点M 作一微小曲面?S，它的边界曲线记为C，曲面的法线 方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当?S?0时，极限 称为矢量场在点M 处沿方向n的环流面密度。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内漩涡源的 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与漩涡源的关系，引入矢 量场的旋度。 特点：其值与点M 处面元的方向n有关。 2、矢量场的旋度（ ） （1）环流面密度 概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面 密度最大值，其方向为取得环流面密度最大值时面积元的 法线方向，即 物理意义：漩涡源密度矢量。 性质： （2）矢量场的旋度 旋度的计算公式: 直角坐标系 圆柱面坐标系 球面坐标系 旋度的有关公式： 矢量场的旋度 的散度恒为零 标量场的梯度 的旋度恒为零 3、Stokes定理 Stokes定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。 曲面的剖分 方向相反大小相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 4、散度和旋度的区别 1、矢量场的源 散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有漩涡性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。 2、矢量场按源的分类 （1）无旋场 性质： ，线积分与路径无关，是保守场。 仅有散度源而无旋度源的矢量场， 无旋场可以用标量场的梯度表示为 例如：静电场 * 本章内容 1.1 矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6