理论力学1哈工大版第十二章.pptVIP

理论力学 中南大学土木建筑学院 O B A 解1：取单个物体为研究对象。 分别以物块A、B和滑轮为研究对象，受力如图。 由质心运动定理和定轴转动的微分方程，得 m1g FA a m2g FB a [例] 物块A和B的质量分别为m1、m2，且 m1＞m2 ，分别系在绳索的两端，绳跨过一定滑轮，如图。滑轮的质量为m，并可看成是半径为r的均质圆盘。假设不计绳的质量和轴承摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动，试求物块A的加速度和轴承O的约束力。 A B O r FB FA FOx FOy mg a 由以上方程联立求解得： 注意到 解2：用动能定理和质心运动定理。以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统动能为 所有力的元功为 由微分形式 的动能定理得 于是可得 B A m1g v m2g v O mg w FOx FOy 于是可得 得 考虑刚体系统的质心运动定理 B A m1g a m2g a O mg a FOx FOy 解3：用动量矩定理和质心运动定理 解：以整个系统为研究对象，受力如图， 运动分析如图。系统对定轴的动量矩为 然后按解2的方法即可求得轴承O的约束力。 由 得 B A m1g v m2g v O mg w FOx FOy 解：以圆盘为研究对象，受力如图。 a C A M O w 45° [例]如图所示，均质圆盘可绕O轴在铅垂面内转动，圆盘的质量为m，半径为R。在圆盘的质心C上连结一刚性系数为k的水平弹簧，弹簧的另一端固定在A点，CA＝2R为弹簧的原长，圆盘在常力偶矩M的作用下，由最低位置无初速地绕O轴向上转。试求圆盘到达最高位置时，轴承O的约束力。 M O C A y x mg F FOx FOy 解得 由 得 y C A a x M mg F FOx FOy O w 45° 再由定轴转动微分方程得 解得 代入加速度解得 A y C x M mg F FOx FOy O 45° 由质心运动微分方程得 y a w x an C at C aCx aCy 解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。杆运动到任一位置 (与水平方向夹角为q )时的角速度为 此时杆的动能为 初动能为零，此过程只有重力作功，由 当q =0°时解出 vA [例]均质细杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面的约束力。 A C q w vC P A C A C 杆刚刚达到地面时受力及加速度如图所示。 杆作平面运动，以A为基点，则C点的加速度为 沿铅垂向下方向投影，得 联立求解方程(1)~(3)，得 a aC mg FA aC a w an CA aA at CA aA 由刚体平面运动微分方程，得 w vD a 解：整体系统在水平方向上受力为零，所以系统的动量在水平方向上守恒。设某瞬时三棱柱的速度和加速度分别为v和a，圆柱体的角速度是和角加速度分别为w和a。（求圆柱体的动量需要用O点的绝对速度） 基点法：取圆柱体与三棱柱的接触点D为基 点，分析圆柱体中心O点的速度，如图所示 系统动量的水平分量： 由动量守恒定理: [例]图示三棱柱体ABC的质量为m1，放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为q，求三棱柱体的加速度。 P326综-16 q A C B O D v a w O D q vD vOD vOx FN 两边对时间t求导得 欲求a需先求出a，取圆柱体分析如图所示，由平面运动微分方程得 从中解出 代入(*)式得 此式实质就是质心运动定理在水平线上的投影式 刚体系统 O D q a x y ae ar FS m2g 动能定理建立 方程较麻烦。 [例]均质直杆AB长为2l，质量为m,A端被约束在一光滑水平滑道内。开始时直杆位于水平位置，由静止释放后，该杆受重力作用而运动。求A端的约束力。P328，综-28 A B A0 B0 q x C 解：系统受力如图，水平方向无外力作用。 质心C 初始静止，因此质心C在水平方向守恒，其轨迹为铅直线。图示为质心的加速度和杆的角加速度。由平面运动微分方程有 FN mg ① ② 2个方程3个未知数，必须补充运动学关系。 A B C x q a aC aA w aA n aCA aCA t q 方程两边在铅垂轴投影得 ③ FN mg A B C x q vC vA w 由动能定理 T2-T1= SW12 有 ④ vA vCA q 由此可知 vC代入④并化简得 ⑤ 由②求得 ⑥ ⑤、⑥代入③后再代入①求得 或：⑤式两边对时间求导得 联立⑥求解 通过速度