高中数学“点到平面的距离”教学实录.doc

以点带面 融会贯通 ---“点到平面的距离”教学实录 　 1 背景 05年11月，笔者受浙江省教研室、浙江省特级教师协会的委托，到浙江省丽水市遂昌中学送教， 在该校高三（1）班上了一节立体几何复习课，参加活动的有丽水市各普通高中的数学教师代表，课题是空间距离的求法，笔者以2003年全国高考数学试题（文史类）的第17题（第一个解答题）的第（II）问为例题，与学生对这个题目进行了的深入的研究、讨论、探索．通过这堂课，不仅使学生掌握了求点到平面距离的一些常用方法，提高了学生的思维能力，而且让学生体会数学发现的快乐． 2 点击各样距离,聚焦点面距离. 教师：我来自千里之外的宁波北仑,中国有句古话,叫做“有缘----” 学生：“有缘千是里来相会”， 教师：对! 相聚确实是一种缘分，今天我和大家能相聚在这里，也是一种缘分，但愿我们能愉快地度过这 45分钟.且彼此都留下美好的印象.今天我们要讨论的话题是如何求距离．到现在为止我们已经学过那此距离？ 学生：点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离、直线到直线的距离、直线到平面的距离、还有平面到 平面的距离等等． 教师：在空间中特有的距离有哪几种？ 学生：异面直线间的距离、直线到平面的距离、点到平面的距离、两平行平面间的距离． 教师：即“四大距离”相当于蒋、宋、孔、陈四大家族.都是很重要的,这里有个问题,我今天讲课题是点到平 面距离,为什么不是其它距离呢?好像我只对点面距离情有独钟,你能说出点到平面的距离，是靠什么“什么魅力”把吴老师深深的吸引？你能明白我的心吗？ 学生：点面距离最重要! 教师：难道其它距离就不重要了吗?还是让我们先设法弄清楚这四大家族的关系如何？为什么点面距离是最 重要的,先看一看面面距离是如何定义的？ 学生：两平行平面公垂线段的长即为两平行平面间的距离（用讲台桌面和一书本作为模型）. 教师：你是如何求两平行平面间的距离的？ 学生：只要求出其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离即可. 教师：即要求面面距离只须求--- 学生：只须求点面距离. 教师：即面面距离可化归为点面距离．让我们再瞧一瞧线面距离（用教鞭及讲台桌面作为模型）线面距离是 如何定义的？ 学生：直线和平面平行时，直线上的任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离. 教师：即线面距离必须化归为点面距离.最后让我们来看一看异面直线间的距离,(作出图形) 学生：异面直线的公垂线段的长即为异面直线的距离. 教师：照理说要求异面直线的距离必须画出异面直线的公垂线段,但要画异面直线的公垂线段是一件很不容易的事情,如图是异面直线,AB是它们的公垂线段,过点B作的平行线,则直线确定的平面和的关系如何? 学生：平行! 教师：AB和平面M的关系如何? 学生：垂直. 教师：AB的长即为A到平面M的距离,即为直线到平面M的距离.所以异面直线的距离也可以化归为线面 距离,最终可化归为点面距离,由此可知,这四个距离中家族中,起决定作用的法人代表是谁? 学生：是点面距离. 3 给出典型问题,引导学生探索. 教师：毫无凝问,点面距离是众多距离中决定作用的法人代表，是众多距离中的最耀眼的明星，老师也是追星 族,对点面距离情有独钟一点也不奇怪了.下面我们设法把这个法人代表搞定.今天我们用一节课时间就做一个题目，请大家看手头中的讲义，先请大家试着做一做 (:学生各自解答讲义中的例题,教师在黑板上画好基本图形) 例题（由2003年全国高考试题改变） 已知：正四棱柱中，，，点为的中点. 求:点到平面BDE的距离. 教师:为了叙述方便,我们所求的点称为“目标点”，如本题中的目标点为，所涉及的平面称为目标平面，如本问题的目标平面为平面．下面请各位同学试着做一做！ 4 展示各种解法,总结思想方法. （大约六、七分钟后） 教师：下面请同学们展示一下自己的解法，这种机会是很难得，哪位同学先勇敢地站起来介绍一下自己的解 法？好的，请你先说一说总的思路和方法！ 学生：我是用体积法做的． 教师：哪就是说没有画出垂线段！ 学生：因为是边长为的正三角形，所以其面积为，接下去求出三棱锥的体积 教师：其体积是如何算？ 学生：的面积为1，高BC也为1，所以其体积为，点到平面的距离为 教师：大家听清楚了吗？ 学生：清楚了. 教师：他说得好不好? 学生：好! 教师：大家鼓励一下. 学生：(掌声.) 教师：我们给这种方法取个名字. 学生：运用体积法. 教师：运用体积法的解题程序如何.第一步干什么,第二步干什么?学生：先看中一个四面体，再求它的体积，再求出所求点对面的哪个面的面积． （板书：运用体积法 图形→体积→面积→结论） 教师：这是最简捷的解法,也是最美的解法,如果是考试时解题,我们就可以到此为止了,因为考试解题一题一解 即可,且最好能把你的绝活亮出来,越简捷越好,是以拿