高中数学教学论文：数学解题中的“和谐”策略.doc

数学解题中的“和谐”策略 【摘要】和谐策略在高中数学解题中的应用 【关键词】和谐 近年来，随着数学新课改的深入发展，创新题在考卷中频频出现。这类考题的特点是：试题给出一段材料，考生往往需要对所提供的材料进行观察、实验、猜想、，就其本质进行归纳、加工提炼，然后作出解答。这种根据材料提供的信息现场阅读、理解和运用的新题型，知识背景较为宽广，知识跨度大，包含的信息也较多，它综合考查了考生的阅读理解、数据处理、分析推理、文字概括和书面表达及知识迁移等诸多方面的能力。这类题贴近实际，可以引导考生关心社会，强化考生的数学应用意识学生创新题得分率普遍较低，其主要原因有：、长期在人们头脑中形成的学科思想意识，导致学生在数学学习中无阅读习惯，不愿阅读或不能从阅读中发现信息；、归纳、抽象、概括能力差；、不敢也不会大担地猜测、假设，不会尝试论证；、不会构建数学模型。这些方面形成的来源，是来自长期传统的“以教师为中心、讲解为主、以题练题”的数学教学思想意识、和教学氛围。 那么，针对数学创新题的特点，数学教师只有从归纳此类题型来进行方法引导。笔者通过演练近几年各地数学考题中的创新题，并挖掘和扑捉出题人的意图，吸收同行在此方面的见解，发现数学解题中，只有解题方法达到一定程度的和谐，那么，不管如何的题目都会迎刃而解！ 特殊与一般的和谐 一般性寓于特殊之中, 反之, 通过对特殊规律的观察又可发现发现一般规律，从而使特殊与一般达到和谐统一。 例1.　求证:2n n2 ( n 4) . 这一规律的探索、发现可通过特殊发现一般的策略: 这是先猜想, 后证明. 先猜后证的数学思想应该是探索性学习的主要指导思想. 2 　反面与正面的和谐 正如方程与函数、常量与变量、相等与不等、直与曲、有限与无限..都是正面与反面,既互相对立, 又可相互转化, 有时可出奇制胜地解决问题. 如解方程cos2x + 3| cos x | + 2 =0 , 要去绝对值符号、显得繁琐 , 若从其反面——添绝对值符号 , 使其方程转化为| cos x|2 +3| cos x | + 2 = 0 , 它丝毫无损于原方程的同解性 ,但从(| cos x | + 2) ( | cos x | + 1) = 0 ,分解因式,却巧妙地解出了三角方程, 这是典型的反面与正面达到和谐境界的体现。 例2 　设△ABC 的三边a 、b、c 成等差数列,则它的三内角中至少有两个角不超过 分析：满足以上条件的三角形三内角中至少有两个角不超过,换句话说,至多只有一个角能超过，正面证明此论断无从下手,采取反面切入求解——“有两个角超过 ”,因为题设有a 、b、c 成等差数列, b =( a + c) , 不妨设a ≤b ≤c 推出A ≤B ≤C , 要使结论成立, 只要证明B ≤,这时用反证法,假设B 推出cosB 用余弦定理,从而推出b2 a2 + c2 - ac ,代入b =得出,得出3 a2 + 3 c2 - 6 ac 0 ,即3 ( a - c) 2 0 矛盾, 故B 不可能, 所以B ≤,得出△ABC 至少有两个角不超于 3　熟悉与陌生的和谐 解题时, 遇到陌生的数学问题, 必须用激活策略,用与陌生问题有内在联系的熟悉问题的解题经验、方法与技巧去处理陌生问题, 以便使经验、方法、技巧迅速迁移. 例3（2004年北京市高考试题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，这个数列的前n项和的计算公式为 。 分析：这是一个新定义问题，题目对于每一位同学都是陌生的，重点在于考查学生学习应用新知识的能力和由“等差”到“等和”的类比能力。根据试题提供的材料不难得出： 　　　 牋牋?　　 4 　具体与抽象的和谐 抽象是数学的一大特点,抽象又是具体的一面镜子, 愈抽象的数学材料———空间形式、数量关系,愈有可能应用到更广泛的领域之中去,这就是具体激活抽象的理论基础. 例4 　已知一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠0 且a ≠c) 的两个根为tanα、tanβ, 求tan (α+β) 的值. 分析：用韦达定理的根与系数的关系容易得出tan(α+β) = 这是相对具体的数学问题,是教材上的原型题,在和角的正切公式中,分子中有两根之和,分母中有两根之积,这是下面的抽象的变式题的构造特征,读者可看出具体可以激活抽象的变式题. 例4变式： 　tanθ与为二次方程x 2+ px + q = 0 的两根,且tanθ: = 3∶2 ,求p 、q 的值. 解: ∵θ +- θ =。则tan=∴q - p = 1. ① 又∵=,推出关于tanθ的一