(试卷)05通信、电本复变函数试题A卷1.doc

若在为的级零点，则。是的奇点，那么在。是的孤立奇点，而且为常数，则 是函数的可去奇点。 （ ） 第二类共形映射保持夹角绝对值不变，而方向相反。（ ） 零的辐角是零 。 （ ） 设u和v都是调和函数，如果v是u的共轭调和函数，那么u不一定是v的共轭调和函数。 （ ） 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。 （ ） 复数项级数收敛的必要条件是。 （ ） 是的六级极点。 （ ） ，其中为整数。 （ ） 函数的周期为_____________。________________。 函数 在 处的泰勒展开式为_____________。 ___0___________________。 的孤立奇点是___________________。 的主值是___________________。 级数的收敛半径是__1 ____________。 函数在圆环域的洛朗展开式_。 ___________________。 ________________。 判定函数在何处可导，何处解析？(满分7分) 解：由偏导数 ，，，　（2分） 均连续，且时才满足C-R条件知，仅在直线 上可导，（3分）在复平面上处处不解析。（２分） 求函数在的Laurent级数。(满分7 ： 　　　　　　（1分）　 ， （2分） ， ，（2分） （2分） 已知，求和，使得函数解析,并求的表达式。（满分7分） 解： 对 求，和的偏导数得： ，　即　　，　　　 ，即　 ， 　（3分） 解得 　　　　　　　　，　　。 从而，　　 ， 　　　（１分） 由于，所以　，即 　　　　　　　。　　　　　（１分） 同理，　， 由，，得，即 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１分） 又由题设知　，于是 令　，得　，所以 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１分） 计算积分，其中C是圆心在或，半径的圆周。(满分7分) 解：不论圆心在或－１，当时，C内有两个奇点和－１。依复合闭路定理，作简单曲线和分别包含１和－１，且互不相交互不包含。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2分） 　　（4分）　 （１分） 求积分的值。(满分7分) 解： 　　　　　 （3分） 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　（3分） 。　　　　　　　　　　　 （１分） 利用留数定理计算积分，其中。 (满分7分) 解： C 为，即　 ，是以点为圆点，半径为的圆周。在C内，被积函数的奇点为２级极点，为１级极点。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（２分） 由留数定理得 　　　　　　　　　　　（3分） 　 　。　　　　　　　　　　　　　　　（２分） 计算。 (满分7分) 解： （2分） （3分） （2分） 若是的级零点，求证是的级零点。（满分5分） 证明当时，和趋于无穷大。（满分6分） 《复变函数》 第 3 页 共7页