第三章 无限长单位脉冲响应滤波器的设计方法0.pptVIP

第三章 无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计 §3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器 （2）映射关系 由此可见： ①当 时，r=1，这表明S平面虚轴映射为Z平面的单位圆 ② 当 时， ；而当 时， 。这表明S左半平面映射为Z平面的单位圆内部，而S左半平面映射为Z平面的单位圆内部 ③由于 ，所以，当 从0到 变化时， 的对应值为0至 。这表明，S平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上。而每一横带的左半部分映射在Z平面单位圆内；横带的右半部分映射在单位圆以外。虽然 轴映射到单位圆上，但是它上的每一段 都对应于绕单位圆一周。如下图所示： 2、混迭失真 还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓： 正如第一章的采样定律中所讨论的，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2 以内， 即 对 和 加以比较，可以看出： （1）s平面的单极点 变换到z平面 处的单极点 （2） 和 的部分分式的系数是相同的，都是Ak。 （3）如果模拟滤波器是稳定的，即所有极点 位于平面的左半平面，则变换后数字滤波器的全部极点在单位圆内， （4）虽然脉冲响应不变法能保证S平面极点与Z平面极点有这种代数对应关系，但并不代表整个S平面与Z平面有这种对应关系。 模拟滤波器的频率响应为: 示于图a 数字滤波器的频率响应为: 显然 与采样间隔T有关,如图b, T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计,为什么混迭呢? 小结 虽然双线性变换有这 样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。 预畸变： 这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。 为了将S平面的jΩ轴压缩到S1平面jΩ1轴上的－π/T到π/T 一段上，可通过以下的正切变换实现： 这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C，可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特性在不同频率点 有对应关系。 经过这样的频率变换， 当Ω由 时, Ω1由-π/T经过０变化到π/T ，即S平面的整个jΩ轴被压缩到S1平面的2π/T 一段。 通常取c=2/T, 考虑z = ejω, 再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令 将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到 S平面到S1平面的映射关系： 最后得S平面与Z平面的单值映射关系：   以上两式存在S平面与Z平面的单值映射关系，这种变换就称为双线性变换。 双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面 单位圆的一周，S平面的Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，对应即数字滤波器的频率响应终 止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。 即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。如图。 图 双线性变换的频率非线性关系 2、逼近的情况 现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从 S平面到Z平面映射变换的二个基本要求： ① 当 时，得： 对单位圆 , 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 时 ② 3、优缺点 1) 与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主