6 Naver-Stkes方程的解.ppt

6.2.2 周期性振动平板引起的流动 设有一无限平板在自身所在的平面内作简谐振动，通过粘性而带动周围原来处于静止的流体形成的流动，也称为斯托克斯第二问题。 振动平板 引起的流动 x o y U0 cosωt 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 如上图所示，x轴位于平板上，y轴与平板壁面垂直。振动平板引起的流动同样可以看成平面二维流动：uz＝0，?/?z＝0；和平行流动：uy＝uz＝0。流体运动速度u(y，t)同样符合线性化的N-S方程 相应的边界条件为：u(0，t)＝U0 cosωt (平板璧面上) u(∞，t)＝0 (无穷远处) 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 根据边界条件的形式，可以采用分离变量方法求解上述热传导方程，获得的速度分布为 式中： 为简谐振动的波数 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 ① 流体速度按指数衰减的简谐振动规律随时间t和坐标y而变化； ② 流场的振动频率等于平板的振动频率ω； ③ 振幅为U0exp(-ky)，且随y值的增加按指数规律衰减，在平板处(y＝0)，振幅为最大； ④ 在与平板相距y处的流体层，其简谐振动相对于平板振动的相位滞后为ky； ⑤ 振动的波长为 (即两速度相位相同的流体层间距，波长也称粘性波的穿透深度)。 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 t u U0 o y＝0 y＝y1 ky1 U0 exp(-ky1) 速度分布随时间t的变化规律 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 y u o U0 u(t1) u(t2) U0 exp(ky) 速度分布随坐标y的变化规律 6.2.2 周期性振动平板引起的流动 知道了流速分布，便可求得平板的壁面切应力 上下平板间充满粘性不可压缩流体 * 圆管中牛顿流体轴向层流 两平行直壁间定常二维流动，由压力梯度推动，管槽中不可压缩粘性流体流动 * 速度指向压力降低的方向，抛物型 * 层流——Re数足够低 充分发展的管流——L足够长 径向、周向分速度为零，轴向速度只随径向r变化，不随轴向x变化 压力P不随轴向r变化只随径向x变化， * 旋转抛物面，指向压力降低的方向 * * 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 这样便得 等式左侧项是坐标x的函数，而右侧项是坐标r的函数，由此可见dp/dx只能是一常数。 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 积分，得 在圆管轴心处(r＝0)，由于du/dr≠?，所以r·du/dr＝0，从而C1＝0。再积分，得 利用边界条件：r＝r0，u＝0，得 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 流速分布公式为 最大流速出现在管路中心处(r＝0) 管内流量为 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 断面平均流速为 这就是不可压缩粘性流体圆管内充分发展层流的N-S方程精确解。它只适用于圆管层流，即Re＝Vd/ν 2000。 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 考虑水平放置的等径直圆管，Bernoulli方程可表示成 沿程水头损失为 而 6.1.2 Poiseuille流动 (2) 充分发展的圆管层流流动 因此 或 其中： 同轴旋转圆柱体间流动 则连续性方程 运动方程 对z取微分，考虑到 ，则有 ，圆周运动是平面平行运动， 对θ取微分，考虑到 ，则有 ， 与r无关 故运动方程 变为 边界条件 运动方程 左端是r的函数 右端与r无关 因此两端应等于同一常数C(恒成立需满足的条件) 积分 再积分 由于 则 ，θ变化时，压力为多值函数，因此， 运动方程变为： 根据边界条件确定积分常数 粘性流体层流运动近似解 一、小雷诺数流动条件下的近似解 Re1，低雷诺数流动，缓慢流动 略去惯性项，保留粘性项，Stokes流（绕球流），Lamb流（绕柱流） 部分略去惯性项，保留粘