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第四章 根轨迹法   4-1 根轨迹的基本概念 4-2 根轨迹的绘制方法 4-3 其它形式的根轨迹 4-4 增加开环零极点对根轨迹的影响 4-5 闭环零极点分布与系统性能指标 4-1根轨迹的基本概念 K取不同值对应的闭环根 s1,s2 系统的开环传递函数一般可写为 4-2根轨迹的绘制方法 一：幅角条件及幅值条件 例4-1 设有一反馈控制系统的开环传递函数为: : 二、根轨迹的基本规则 2. 根轨迹的分支数 7. 根轨迹与虚轴的交点 (2) 利用劳斯判据 8.根轨迹的出射角和入射角 9. 闭环极点之和 三、根轨迹绘制举例 例4-5 某负反馈控制系统的开环传递函数为 例4-6若一控制系统的开环传递函数为 4-3其它形式的根轨迹 4-4增加开环零极点对根轨迹的影响 例4-10一控制系统的开环传递函数为下式试采取何种措施使系统的稳定性提高. 二:增加极点对根轨迹的影响 4-5 闭环零极点分布与系统性能指标 例4-11一随动系统,其方框图如下所示.试分析开环系统增益K值对系统性能的影响,并计算速度误差系数Kv=10时系统的性能指标. 闭环零极点对系统瞬态性能的影响 零极点与系统的定态品质系数 例4-12 已知I型系统,为减小系统定态速度误差,应如何配置零点? 根轨迹：当系统中某个（或几个）参数从0到+∞变化时，系统闭环特征方程的根（即闭环极点）在根平面（S平面）上描绘的一些曲线。（根轨迹方法是一种图解方法） 在S平面上标出相应的s1, s2点,并将所有的S点连接起来则或为闭环特征根随系统增益K变化的根轨迹,如图 系统开环传递函数G(s)H(s)通常是两个多项式之比,它等于系统各部分传递函数之积。因此可改写为 根据根轨迹的定义,当系统增益K值由0→∞ 时,根轨迹的起点必为K=0时的闭环特征根,而终点则为K→∞时的闭环特征根。 2. 根轨迹的分支数根轨迹的每一个分支表示了闭环系统的一个特征根当增益K改变时在S平面上的运动轨迹,因而根轨迹的分支数等于特征方程的阶次。而每一开环极点是不同分支的起始点,所以,根轨迹的分支数等于开环极点数。 3. 根轨迹的对称性由特征方程１+G(s)H(s)=0,其特征根或是实根或是复根。若是实根,则在实轴上;若是复根则必是复平面上对称实轴的共轭复数点。因此可得出根轨迹或是在实轴上,或是对称于实轴。 4. 实轴上的根轨迹 实轴上试探点s1,它在根轨迹上的充分必要条件是它满足幅角条件。复数极点必是共轭成对的,它们至s1点的幅角和恒为±180°(2k)。因此实轴上根轨迹的分布只取决干实轴上极点、零点的分布。试探s1点右边的零点、极点至s1点向量的幅角都是±180°,而s1点左边零点、极点至s1点向量的幅角都是0°。由此可以得到以下分布规律:若试探点s1右边零点、极点总数是奇数,则s1点所在的线段是根轨迹的一部分。若试探点s1右边零点、极点总数是偶数,则s1点所在的线段不是根轨迹。 7. 根轨迹与虚轴的交点 (1) 直接利用特征方程 当系统特征方程的根位于虚轴时,系统相应处于临界稳定的情况。利用劳斯判据,可确定系统的这一临界情况,并可求出相应的虚轴交点。仍以上例所示的系统为例加以说明。 * * 根轨迹：当系统中某个（或几个）参数从 0 到+∞变化时，系统闭环特征方程的根（即闭环极点）在根平面（S平面）上描绘的一些曲线。 根轨迹方法是一种图解方法。 系统的闭环传递函数为: 系统特征方程为: 解方程得闭环特征根为: K S1 S2 0 0 -1 1/8 -0.146 -0.854 1/4 -0.5 -0.5 1/2 -0.5+j0.5 -0.5+j0.5 … … … … … … ∞ -0.5+j∞ -0.5-j∞ K=0 K=0 K=0.25 K=0.5 K=0.5 K=1.25 K=1.25 为系统的m个开环零点; 为系统的n个开环极点; 为系统开环跟轨迹增益. K为系统的开环增益; Zero Poles 控制系统的闭环传递函数一般写为: 特征方为: 向量形式表示为: 幅值 幅角 Magnitude Phase angle 1)利用幅角条件 -P1 -P3 -P2 -Z1 S1 26O 45O 79O 120O 解:满足幅角条件的点都是根轨迹上的点,所以 检验点s1= -1.5+j2.5是否在根轨迹上; 并确定与其相对应的 值. 2)由幅值条件求s1相对应的 值 =12.15 结论: 由此求得根轨迹的起点为系统的开环极点; 根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点 1.