估计简单线性回归方程式.PPT

第14章 簡單線性迴歸 第583頁 表14.8 第14章 簡單線性迴歸 第583頁 圖14.14 另一個決定「誤差項是常態分配」的假設是否有效的方法是常態機率圖(normal probability plot)。為了說明如何繪製常態機率圖，我們先介紹常態分數(normal score) 的概念。 假定我們由平均數 0、標準差 1 的常態機率分配中隨機抽取 10 個值，並將 10 個數由小到大排列，而且抽樣過程不斷重複。我們現在只考慮每組樣本中的最小值。表示重複抽樣過程中每組樣本的最小值的隨機變數稱一階統計量 (first-order statistic)。 第14章 簡單線性迴歸 第584頁 統計學家已證明，對於來自標準常態機率分配，樣本大小為 10 的隨機樣本而言，一階統計量的期望值是–1.55。這個期望值稱為常態分數。如果樣本大小為10，就有 10 階的統計量，以及 10 個常態分數 (見表 14.9)。一般而言，如果資料集有 n 個觀察值，就有 n 階統計量及 n 個常態分數。 第14章 簡單線性迴歸 第584頁 我們現在要說明，如何用 10 個常態分數來決定亞曼披薩屋的標準化殘差是否來自標準常態機率分配。先將表 14.8 的 10 個標準化殘差排序，並將排序後的標準化殘差及常態分數都列於表 14.10。若常態分配的假設成立，最小的標準化殘差應該很接近最小的常態分數，次小的標準化殘差應該很接近次小的常態分數，依此類推。 若以常態分數為橫軸，對應的標準化殘差為縱軸，在圖上以點表示，如果標準化殘差趨近常態分配時，資料點應聚集在通過原點呈 45 度的直線附近。此圖形稱為常態機率圖 (normal probability plot)。 第14章 簡單線性迴歸 第584-585頁 第14章 簡單線性迴歸 第584-585頁 圖 14.15 是亞曼披薩屋的常態機率圖。我們要判斷圖形與 45 度線的偏差是否足以讓我們認為標準化殘差不是來自標準常態機率分配。圖 14.15 的點十分靠近 45度線，因此，我們的結論是「誤差項呈常態分配的假設」是合理的。 通常，這些點愈靠近 45 度線，支持常態分配假設的證據就愈強。任何常態機率圖若呈現相當程度的彎曲，即為殘差項不是常態分配的證據。利用 Minitab 之類的統計軟體可以輕易得到常態分數與對應的常態機率圖。 第14章 簡單線性迴歸 第585頁 第14章 簡單線性迴歸 第584頁 圖14.15 圖 14.16 是有一個離群值 (outlier) 的資料集的散布圖。所謂離群值是指不符合其餘資料所表現的趨勢之資料點 (觀察值)。 離群值代表值得懷疑或須經仔細檢查的觀察值。它可能是錯誤的資料，若是如此，此資料應被更正。它們也可能意味著模型的假設不成立；若是如此，則應考慮其他模型。 最後，它們也可能僅是偶爾發生的不尋常值，在此情形下，則應該被保留。 第14章 簡單線性迴歸 第587頁 第14章 簡單線性迴歸 第587頁 圖14.16 為了說明偵測離群值的過程，我們考慮表 14.11 的資料集；圖 14.17 為資料集的散布圖。除了第四個觀察值 (x4＝3, y4＝75) 外，其餘資料明顯表現出負線性關係的形式。 標準化殘差也常被用來偵測離群值。如果一個觀察值大幅偏離其他資料所呈現的圖形 (如圖 14.16 的離群值)，則所對應的標準化殘差的絕對值將很大。許多電腦軟體會自動標示出標準化殘差的絕對值很大的觀察值。 圖 14.18 是運用 Minitab 對表 14.11 的資料進行迴歸分析後得到的結果。 第14章 簡單線性迴歸 第587頁 第14章 簡單線性迴歸 第587頁 表14.11 第14章 簡單線性迴歸 第588頁 圖14.17 第14章 簡單線性迴歸 第588頁 圖14.18 第14章 簡單線性迴歸 第588頁 圖14.19 圖 14.20 是簡單線性迴歸中有具影響力的觀察值 (influential observation) 的例子。這個估計迴歸線有負斜率。然而，若將具影響力的觀察值由資料集中剔除，則估計迴歸線的斜率會由負變為正，而且 y 截距會變小。很明顯地，對於決定估計迴歸線，此觀察值比起其他觀察值更具影響力。將資料集的其他觀察值剔除時，對估計迴歸線的影響很小。 自變數若擁有極端的觀察值時被稱為高槓桿點 (high leverage points)。圖 14.20 的具影響力的觀察值就是一個高槓桿點。 第14章 簡單線性迴歸 第589.590頁 第14章 簡單線性迴歸 第589.590頁 圖14.20 * 第 i 個觀察值的槓桿作用 圖 14.21 是表 14.12 資料集的散布圖，我們可發現第 7 個