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据此, 若已知A=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k, 则由(3.4)式与(3.5)式有此式把求一个矢性函数的不定积分, 归结为求三个数性函数的不定积分. 此外, 数性函数的换元积分法与分部积分法亦适用于矢性函数. 但由于两个向量的矢量积服从负交换律, 即A?B=-(B?A), 故其分部积分公式的右端应为两项相加 例1 计算解 用换元积分法, 令u=j2+1, 则 例2 计算解 用分部积分法, 有 例3 设A=2tj+tk, B=etj+sintj+tk, 计算解其中 A?B=(2t2-tsint)i+tetj-2tetk.由于 A=2j+k为常矢, 故 故 2. 矢性函数的定积分定义 设矢性函数A(t)在区间[T1,T2]上连续, 则A(t)在[T1,T2]上的定积分是指下面形式的极限:其中T1=t0t1t2…tn=T2; xi为区间[ti-1,ti]上的一点; Dti=ti-ti-1; l=max Dti, i=1,2,…,n. 可以看出,矢性函数的定积分概念也和数性函数的定积分完全类似. 因此, 也具有和数性函数定积分相应的基本性质. 例如:若B(t)是连续矢性函数A(t)在区间[T1,T2]上的一个原函数, 则有 此外, 类似于(3.8)式, 求矢性函数的定积分也可归结为求三个数性函数的定积分, 即有 例4 已知求解 作业:从19页开始习题1第1题, 第3题, 第4题每周交一次作业 习题参考解答1.(1)x=acost, y=bsint矢量方程为A=acosti+bsintj曲线形状是椭圆. (2) x=3sint, y=4sint, z=3cost矢量方程为A=3sinti+4sintj+3costk如果观察x和y的表示式, 它们同步地增加和减少, sint最小值和最大值是-1和1, 导致x和y的最小值和最大值是-3,3及-4,4, 因此在xy方向上是一个直线的线段.结合x和z的表示式是一圆, 结合x和y的表示式是一椭圆. 3. (1)证明e(j)?e1(j)=k;(2)证明 e(j+a)=e(j)cosa+e1(j)sina.证: e(j)=cosji+sinjj, e1(j)=-sinji+cosjj.(1) 由i?j=k, j?i=-k, i?i=j?j=0e(j)?e1(j)=(cosji+sinjj)?(-sinji+cosjj) =cos2jk+sin2jk=k(2) 从右边往左边证e(j)cosa+e1(j)sina =(cosji+sinjj)cosa+(-sinji+cosjj)sina=(cosjcosa-sinjsina)i+(sinjcosa+cosjsina)j =cos(j+a)i+sin(j+a)j=e(j+a) 4. 解: O A(t) dA(dt0) dA(dt0) A(t) M l 微分dA的坐标表示式, 可由(2.3)式求得,即 dA=A(t)dt =Ax(t)dti+Ay(t)dtj+Az(t)dtk或 dA=dAxi+dAyj+dAzk. (2.5) 例3 设r(q)=acosqi+bsinqj, 求dr及|dr|解 dr=d(acosq)i+d(bsinq)j =-asinqdqi+bcosqdqj =(-asinqi+bcosqj)dq 如果把矢性函数A(t)=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k看作其终点M(x,y,z)的矢径函数 r=xi+yj+zk,这里x=Ax(t),y=Ay(t),z=Az(t), 则(2.5)式又可写为 dr=dxi+dyj+dzk, (2.6)其模 通常都将矢性函数A(t)的矢端曲线l视为有向曲线, 在无特别申明时, 都是取t值增大的一方为l的正向. 若在l上取定一点M0作为计算弧长s的起点, 并以l之正向(即t值增大的方向)作为s增大的方向, 则在l上任一点M处, 弧长的微分是按下述办法取右端符号: 以点M为界, 当ds位于s增大一方时取正号; 反之取负号. 由此可见, 有 |dr|=|ds| (2.8)就是说, 矢性函数的微分的模, 等于(其矢端曲线的)弧微分的绝对值. 从而由 M0 M l ds0 ds0 有 由此可知:矢端曲线的切向单位矢量 例5 求圆柱螺旋线r=3costi+3sintj+4tk的切向单位矢量t.解所以 4.矢性函数的导数公式设矢性函数A=A(t), B=B(t)及数性函数u=u(t)在t的某个范围内可导, 则下列公式在该范围内成立 这些公式的证明方法,与微积分学中数性函数的类似公式的证法完全相同. 比如公式(5)
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